Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos d sela, se houver. f(x, y)=e^{-\left(x^{2}+y^{2}+2 x\right)}
Passo 1
O enunciado pede que eu localize todos os máximos relativos, mínimos relativos e pontos de sela (se houver) da função
f(x,y)=e^{-\left(x^{2}+y^{2}+2x\right)}.
Informações dadas que vou usar:
A função é definida para todos os pares (x,y)\in\mathbb{R}^2.
Preciso encontrar todos os pontos críticos (onde o gradiente é zero) e então classificá‑los (máximo, mínimo ou sela).
Também posso usar propriedades da exponencial (sempre positiva) se necessário.
Passo 2
Vou derivar as derivadas parciais primeiras para encontrar os pontos críticos. Para isso uso a regra da cadeia: se f(x,y)=\exp(g(x,y)) então \partial f/\partial x = f\cdot \partial g/\partial x e análogo para y.
Defino g(x,y)=-\bigl(x^{2}+y^{2}+2x\bigr), então f(x,y)=e^{g(x,y)}.
Calculo \partial g/\partial x e \partial g/\partial y:
Observação didática curta: aqui usei que a derivada de e^{g(x,y)} é e^{g(x,y)} vezes a derivada de g. Isso é a regra padrão para compostas com a exponencial.
Passo 3
Pontos críticos ocorrem onde as duas derivadas parciais são nulas simultaneamente:
Isto mostra que f é uma gaussiana centrada em (-1,0) multiplicada por e. Assim:
f(x,y)\le e para todo (x,y) e o valor e é atingido exatamente em (-1,0). Logo (-1,0) é, na verdade, o máximo global (além de ser máximo local).
Como e^{-(x+1)^{2}-y^{2}}>0 para todo (x,y) e tende a 0 quando \|(x,y)\|\to\infty, não existe ponto onde f atinja o mínimo global 0; o ínfimo é 0 mas não é atingido. Portanto não há mínimos relativos (nem mínimos globais atingidos).
Não existem pontos de sela, porque o único ponto crítico já foi identificado e é um máximo (e não surgem outros pontos críticos).
Resposta
Máximo relativo (e global): (-1,0) com valor f(-1,0)=e.
Não há mínimos relativos.
Não há pontos de sela.