Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos d sela, se houver.
f(x, y)=e^{-\left(x^{2}+y^{2}+2 x\right)}

Passo 1

O enunciado pede que eu localize todos os máximos relativos, mínimos relativos e pontos de sela (se houver) da função
f(x,y)=e^{-\left(x^{2}+y^{2}+2x\right)}.
Informações dadas que vou usar:
  • A função é definida para todos os pares (x,y)\in\mathbb{R}^2.
  • Preciso encontrar todos os pontos críticos (onde o gradiente é zero) e então classificá‑los (máximo, mínimo ou sela).
  • Também posso usar propriedades da exponencial (sempre positiva) se necessário.

Passo 2

Vou derivar as derivadas parciais primeiras para encontrar os pontos críticos. Para isso uso a regra da cadeia: se f(x,y)=\exp(g(x,y)) então \partial f/\partial x = f\cdot \partial g/\partial x e análogo para y.
Defino g(x,y)=-\bigl(x^{2}+y^{2}+2x\bigr), então f(x,y)=e^{g(x,y)}.
Calculo \partial g/\partial x e \partial g/\partial y:
\frac{\partial g}{\partial x}=-2x-2=-2(x+1), \qquad \frac{\partial g}{\partial y}=-2y.
Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x}=f\cdot\frac{\partial g}{\partial x}=-2(x+1)\,f(x,y),
\frac{\partial f}{\partial y}=f\cdot\frac{\partial g}{\partial y}=-2y\,f(x,y).
Observação didática curta: aqui usei que a derivada de e^{g(x,y)} é e^{g(x,y)} vezes a derivada de g. Isso é a regra padrão para compostas com a exponencial.

Passo 3

Pontos críticos ocorrem onde as duas derivadas parciais são nulas simultaneamente:
\frac{\partial f}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=0.
Como f(x,y)=e^{g(x,y)}>0 para todo (x,y), os fatores f(x,y) não anulam as derivadas; portanto devemos ter
-2(x+1)=0\quad\Rightarrow\quad x=-1,
-2y=0\quad\Rightarrow\quad y=0.
Assim há exatamente um ponto crítico:
(x,y)=(-1,0).

Passo 4

Agora preciso classificar esse ponto crítico. Para isso calculo as segundas derivadas (Hessiana). Vou usar produto e cadeia com cuidado.
Já tenho \partial f/\partial x=-2(x+1)f. Derivando novamente em relação a x:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-2(x+1)f\bigr) = -2f + \bigl(-2(x+1)\bigr)\frac{\partial f}{\partial x}.
Substituo \partial f/\partial x=-2(x+1)f:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=-2f + \bigl(-2(x+1)\bigr)\bigl(-2(x+1)f\bigr) = f\bigl(-2 + 4(x+1)^{2}\bigr).
De modo análogo, partindo de \partial f/\partial y=-2y f e derivando em y:
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}= -2f + \bigl(-2y\bigr)\frac{\partial f}{\partial y} = -2f + \bigl(-2y\bigr)\bigl(-2y f\bigr) = f\bigl(-2 + 4y^{2}\bigr).
Para a mista:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(-2(x+1)f\bigr) = -2(x+1)\frac{\partial f}{\partial y} = -2(x+1)\bigl(-2y f\bigr) = 4(x+1)y\,f.
Essas fórmulas valem para todo (x,y).

Passo 5

Avalio as segundas derivadas no ponto crítico (x,y)=(-1,0). Primeiro calculo o valor da função ali:
f(-1,0)=e^{-\bigl((-1)^{2}+0^{2}+2(-1)\bigr)} = e^{-\bigl(1+0-2\bigr)}=e^{1}=e.
Agora as segundas derivadas:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(-1,0)=f(-1,0)\bigl(-2+4\cdot 0^{2}\bigr)=e\cdot(-2)=-2e,
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(-1,0)=f(-1,0)\bigl(-2+4\cdot 0^{2}\bigr)=e\cdot(-2)=-2e,
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}(-1,0)=4(x+1)y\,f\big|_{(-1,0)}=0.
Formo a Hessiana H no ponto crítico:
H=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\[4pt] f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -2e & 0 \\[4pt] 0 & -2e \end{pmatrix}.
Para classificar usamos o teste da segunda derivada (teste da Hessiana) para funções de duas variáveis:
  • Calculo o discriminante D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então é máximo local.
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então é mínimo local.
  • Se D<0 então é ponto de sela.
Aqui
D=(-2e)(-2e)-0^{2}=4e^{2}>0,
e f_{xx}(-1,0)=-2e<0. Portanto, pelo teste da Hessiana, o ponto crítico (-1,0) é um máximo relativo.]

Passo 6

Vou dar uma interpretação global e concluir sobre mínimos e pontos de sela. É útil completar o quadrado no expoente:
x^{2}+y^{2}+2x=(x+1)^{2}+y^{2}-1,
portanto
f(x,y)=e^{-\left((x+1)^{2}+y^{2}-1\right)}=e^{1}\,e^{-(x+1)^{2}-y^{2}}=e\cdot e^{-(x+1)^{2}-y^{2}}.
Isto mostra que f é uma gaussiana centrada em (-1,0) multiplicada por e. Assim:
  • f(x,y)\le e para todo (x,y) e o valor e é atingido exatamente em (-1,0). Logo (-1,0) é, na verdade, o máximo global (além de ser máximo local).
  • Como e^{-(x+1)^{2}-y^{2}}>0 para todo (x,y) e tende a 0 quando \|(x,y)\|\to\infty, não existe ponto onde f atinja o mínimo global 0; o ínfimo é 0 mas não é atingido. Portanto não há mínimos relativos (nem mínimos globais atingidos).
  • Não existem pontos de sela, porque o único ponto crítico já foi identificado e é um máximo (e não surgem outros pontos críticos).

Resposta

Máximo relativo (e global): (-1,0) com valor f(-1,0)=e.
Não há mínimos relativos.
Não há pontos de sela.

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