Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver: f(x, y)=4-x^{2}-y^{2}
Passo 1
O enunciado dá a função f(x,y)=4-x^{2}-y^{2} e pede para localizar todos os máximos relativos, mínimos relativos e pontos de sela (se houver).\n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:\n
A função é f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} dada por \displaystyle f(x,y)=4-x^{2}-y^{2}.\n
Queremos todos os pontos críticos e classificá‑los (máximo, mínimo ou sela).\n
Passo 2
Entendendo o que fazemos primeiro: para achar candidatos a máximos/minimos/pontos de sela procuramos os pontos críticos, que são os pontos onde o gradiente de f se anula. Vou ensinar isso passo a passo.\n
O gradiente de f é o vetor das derivadas parciais:
Aqui \frac{\partial f}{\partial x} é a derivada de f em relação a x mantendo y fixo (só olhando a variação na direção x), e \frac{\partial f}{\partial y} é análoga para y.\n
Agora calculamos essas derivadas parciais para a nossa função.
Achamos os pontos críticos resolvendo \nabla f(x,y)=(0,0), ou seja
-2x=0,\qquad -2y=0.
Resolve fácil: x=0 e y=0. Logo existe exatamente um ponto crítico:
(0,0).
Passo 5
Agora precisamos classificar esse ponto. Vou usar o teste da segunda derivada (matriz Hessiana), que é o método padrão e rápido: construímos a matriz Hessiana \,Hf(x,y)\, cujas entradas são as segundas derivadas parciais:
que é a mesma em qualquer ponto porque f é quadrática simples.]
Passo 7
Calcule D no ponto crítico (ou em qualquer ponto, já que é constante):
D=\det Hf = (-2)\cdot(-2)-0^{2}=4.
Temos D=4>0 e \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(0,0)=-2<0. Pelo teste da segunda derivada, isso implica que (0,0) é um ponto de máximo local.
Passo 8
Além disso, dá para ver que esse máximo é global porque a função é uma paraboloide voltada para baixo: para qualquer (x,y)\neq(0,0),
f(x,y)=4-x^{2}-y^{2}<4=f(0,0).
Uma forma de ver isso é escrever
f(0,0)-f(x,y)=x^{2}+y^{2}\ge 0
com igualdade só quando x=y=0. Como x^{2}+y^{2} é sempre não negativo e se anula só em (0,0), (0,0) atinge o maior valor possível e é máximo global.\n
Não há nenhum ponto onde f seja menor que tudo ao redor (nenhum mínimo relativo), e também não há pontos de sela porque o determinante da Hessiana é sempre positivo e a concavidade é para baixo em todas as direções.
Resposta
Ponto crítico: (0,0) — máximo relativo (e máximo global) com valor f(0,0)=4.\n
Não há mínimos relativos.\n
Não há pontos de sela.