Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver:
f(x, y)=4-x^{2}-y^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=4-x^{2}-y^{2} e pede para localizar todos os máximos relativos, mínimos relativos e pontos de sela (se houver).\n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:\n
  • A função é f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} dada por \displaystyle f(x,y)=4-x^{2}-y^{2}.\n
  • Queremos todos os pontos críticos e classificá‑los (máximo, mínimo ou sela).\n

Passo 2

Entendendo o que fazemos primeiro: para achar candidatos a máximos/minimos/pontos de sela procuramos os pontos críticos, que são os pontos onde o gradiente de f se anula. Vou ensinar isso passo a passo.\n
O gradiente de f é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
Aqui \frac{\partial f}{\partial x} é a derivada de f em relação a x mantendo y fixo (só olhando a variação na direção x), e \frac{\partial f}{\partial y} é análoga para y.\n
Agora calculamos essas derivadas parciais para a nossa função.

Passo 3

Calcule as derivadas parciais:\n
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(4-x^{2}-y^{2}\bigr)=-2x,\n
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(4-x^{2}-y^{2}\bigr)=-2y.\n
Portanto o gradiente é
\nabla f(x,y)=(-2x,\,-2y).

Passo 4

Achamos os pontos críticos resolvendo \nabla f(x,y)=(0,0), ou seja
-2x=0,\qquad -2y=0.
Resolve fácil: x=0 e y=0. Logo existe exatamente um ponto crítico:
(0,0).

Passo 5

Agora precisamos classificar esse ponto. Vou usar o teste da segunda derivada (matriz Hessiana), que é o método padrão e rápido: construímos a matriz Hessiana \,Hf(x,y)\, cujas entradas são as segundas derivadas parciais:
Hf(x,y)=\begin{pmatrix} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y} \\\ \frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} \end{pmatrix}.
A regra prática (teste de Sylvester 2×2) é: calcule
D(x,y)=\det Hf(x,y)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\cdot\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}-\left(\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}\right)^{2}.
No ponto crítico (x_{0},y_{0}):
  • se D>0 e \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(x_{0},y_{0})>0 então é mínimo local;
  • se D>0 e \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(x_{0},y_{0})<0 então é máximo local;
  • se D<0 então é ponto de sela;
  • se D=0 o teste é inconclusivo.\n
    Vou aplicar isso em (0,0).

Passo 6

Calcule as segundas derivadas:\n
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(-2x)=-2,\n
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(-2y)=-2,\n
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(-2y)=0.\n
Assim a Hessiana é
Hf(x,y)=\begin{pmatrix}-2 & 0 \\[4pt] 0 & -2\end{pmatrix},
que é a mesma em qualquer ponto porque f é quadrática simples.]

Passo 7

Calcule D no ponto crítico (ou em qualquer ponto, já que é constante):
D=\det Hf = (-2)\cdot(-2)-0^{2}=4.
Temos D=4>0 e \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(0,0)=-2<0. Pelo teste da segunda derivada, isso implica que (0,0) é um ponto de máximo local.

Passo 8

Além disso, dá para ver que esse máximo é global porque a função é uma paraboloide voltada para baixo: para qualquer (x,y)\neq(0,0),
f(x,y)=4-x^{2}-y^{2}<4=f(0,0).
Uma forma de ver isso é escrever
f(0,0)-f(x,y)=x^{2}+y^{2}\ge 0
com igualdade só quando x=y=0. Como x^{2}+y^{2} é sempre não negativo e se anula só em (0,0), (0,0) atinge o maior valor possível e é máximo global.\n
Não há nenhum ponto onde f seja menor que tudo ao redor (nenhum mínimo relativo), e também não há pontos de sela porque o determinante da Hessiana é sempre positivo e a concavidade é para baixo em todas as direções.

Resposta

Ponto crítico: (0,0) — máximo relativo (e máximo global) com valor f(0,0)=4.\n
Não há mínimos relativos.\n
Não há pontos de sela.

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