Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver:
f(x, y)=x^{2}-2 x+y^{2}-2 y+5

Passo 1

O enunciado pede: localizar todos os máximos relativos, mínimos relativos e pontos de sela da função f. A função dada é
f(x,y)=x^{2}-2x+y^{2}-2y+5.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{domínio: }(x,y)\in\mathbb{R}^{2}.í
Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

Encontrar pontos críticos: vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem e igualá‑las a zero. Lembre que a derivada parcial de f em relação a x, chamada \frac{\partial f}{\partial x} ou f_x, trata y como constante; analogamente para f_y.
Calculemos:
f_x=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}-2x+y^{2}-2y+5\big)=2x-2,
f_y=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}-2x+y^{2}-2y+5\big)=2y-2.

Passo 3

Igualamos as derivadas parciais a zero para achar pontos críticos:
2x-2=0\quad\Rightarrow\quad x=1,
2y-2=0\quad\Rightarrow\quad y=1.
Logo existe um único ponto crítico em (1,1).

Passo 4

Teste da segunda derivada para funções de duas variáveis: construímos as segundas derivadas e o discriminante (determinante do Hessiano) em um ponto crítico. Definições e critério:
f_{xx}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}},\quad f_{yy}=\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}},\quad f_{xy}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}.
O discriminante é
D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2}.
Regras (intuição rápida): se D>0 e f_{xx}>0 então há mínimo local; se D>0 e f_{xx}<0 então há máximo local; se D<0 então é ponto de sela; se D=0 o teste é inconclusivo.

Passo 5

Calculemos as segundas derivadas para a nossa função:
f_{xx}= \frac{\partial}{\partial x}(2x-2)=2,
f_{yy}= \frac{\partial}{\partial y}(2y-2)=2,
f_{xy}= \frac{\partial}{\partial y}(2x-2)=0.
Então o discriminante no ponto crítico é
D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2}=2\cdot 2 - 0^{2}=4>0.
Como D>0 e f_{xx}=2>0, pelo critério acima o ponto crítico (1,1) é um mínimo local.

Passo 6

Podemos também ver de forma direta (muito útil para prova) completando o quadrado, que dá intuição imediata sobre se é mínimo global. Reescrevendo f:
x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1,\qquad y^{2}-2y=(y-1)^{2}-1.
Assim
f(x,y)=(x-1)^{2}+(y-1)^{2}-1-1+5=(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+3.
Dessa forma (x-1)^{2}+(y-1)^{2}\ge 0 para todos (x,y), com igualdade somente em (1,1). Logo (1,1) não é apenas mínimo local, é mínimo global, e o valor mínimo é f(1,1)=3.
Como a função é soma de quadrados positiva mais constante, não existem máximos (a função cresce sem limite quando |(x,y)|\to\infty) e não existem pontos de sela.

Resposta

Mínimo relativo (e global) em (1,1) com f(1,1)=3.
Não há máximos relativos.
Não há pontos de sela.

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