Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver:
Passo 1
O enunciado pede: localizar todos os máximos relativos, mínimos relativos e pontos de sela da função
. A função dada é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Não há outras restrições no enunciado.
Passo 2
Encontrar pontos críticos: vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem e igualá‑las a zero. Lembre que a derivada parcial de
em relação a
, chamada
ou
, trata
como constante; analogamente para
.
Calculemos:
Passo 3
Igualamos as derivadas parciais a zero para achar pontos críticos:
Logo existe um único ponto crítico em
.
Passo 4
Teste da segunda derivada para funções de duas variáveis: construímos as segundas derivadas e o discriminante (determinante do Hessiano) em um ponto crítico. Definições e critério:
O discriminante é
Regras (intuição rápida): se
e
então há mínimo local; se
e
então há máximo local; se
então é ponto de sela; se
o teste é inconclusivo.
Passo 5
Calculemos as segundas derivadas para a nossa função:
Então o discriminante no ponto crítico é
Como
e
, pelo critério acima o ponto crítico
é um mínimo local.
Passo 6
Podemos também ver de forma direta (muito útil para prova) completando o quadrado, que dá intuição imediata sobre se é mínimo global. Reescrevendo
:
Assim
Dessa forma
para todos
, com igualdade somente em
. Logo
não é apenas mínimo local, é mínimo global, e o valor mínimo é
.
Como a função é soma de quadrados positiva mais constante, não existem máximos (a função cresce sem limite quando
) e não existem pontos de sela.
Resposta
Mínimo relativo (e global) em
com
.
Não há máximos relativos.
Não há pontos de sela.
Não há máximos relativos.
Não há pontos de sela.