Localize todos os mínimos relativos, máximos relativos e os pontos de sela.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado\n
- Pede-se localizar todos os mínimos relativos, máximos relativos e pontos de sela da função\n
- Informação dada: a expressão explícita de
. - Objetivo prático: encontrar pontos críticos (onde o gradiente é zero) e classificar cada um (mínimo relativo, máximo relativo ou ponto de sela).
Passo 2
Calcular as derivadas parciais primeiras (gradiente) e montar o sistema
\n
- Derivada parcial em relação a
: derivando termo a termo, - derivada de
é , - derivada de
em relação a é , - derivada de
em relação a é (porque é função só de ).
Logo
- derivada de
- Derivada parcial em relação a
: derivando termo a termo, - derivada de
em relação a é , - derivada de
em relação a é , - derivada de
é .
Logo
- derivada de
- O sistema para pontos críticos é
]
Passo 3
Resolver o sistema
\n
- Da segunda equação temos
, pois . - Substituindo na primeira:
. Simplificando, - Portanto as soluções para
são ou . Com obtemos os pontos críticos:
Passo 4
Montar a matriz Hessiana e explicar o teste de segunda derivada para classificação\n
- Calcular as segundas derivadas:
- A matriz Hessiana é
- Definimos o discriminante (determinante da Hessiana):
- Regra de classificação (teste de segunda derivada em duas variáveis):
- Se
e , o ponto é mínimo relativo (Hessiana definida positiva). - Se
e , o ponto é máximo relativo (Hessiana definida negativa). - Se
, o ponto é ponto de sela (Hessiana indefinida). - Se
, o teste é inconclusivo (não ocorre aqui).]
- Se
Passo 5
Aplicar o teste em cada ponto crítico\n
- Em
: Como , conclui-se que é um ponto de sela. - Em
: Como e , conclui-se que é um mínimo relativo.
Passo 6
Calcular os valores da função nos pontos críticos e comentar sobre extremos globais\n
- Valor em
: - Valor em
: - Sobre extremos globais: a função é polinomial de grau 3 em
, por exemplo ao tomar obtemos que tende a quando e a quando . Assim não é limitada nem acima nem abaixo, logo não existem máximos ou mínimos globais, apenas os extremos relativos já encontrados.
Resposta
Mínimos relativos:
com
.
Máximos relativos: nenhum.
Pontos de sela: com
.
Máximos relativos: nenhum.
Pontos de sela: