Localize todos os mínimos relativos, máximos relativos e os pontos de sela.
f(x, y)=x^{3}-3 x y+\frac{1}{2} y^{2}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado\n
  • Pede-se localizar todos os mínimos relativos, máximos relativos e pontos de sela da função\n
f(x,y)=x^{3}-3xy+\tfrac{1}{2}y^{2}.
  • Informação dada: a expressão explícita de f(x,y).
  • Objetivo prático: encontrar pontos críticos (onde o gradiente é zero) e classificar cada um (mínimo relativo, máximo relativo ou ponto de sela).

Passo 2

Calcular as derivadas parciais primeiras (gradiente) e montar o sistema \nabla f=0\n
  • Derivada parcial em relação a x: derivando termo a termo,
    • derivada de x^{3} é 3x^{2},
    • derivada de -3xy em relação a x é -3y,
    • derivada de \tfrac{1}{2}y^{2} em relação a x é 0 (porque é função só de y).
      Logo
    f_{x}=3x^{2}-3y.
  • Derivada parcial em relação a y: derivando termo a termo,
    • derivada de x^{3} em relação a y é 0,
    • derivada de -3xy em relação a y é -3x,
    • derivada de \tfrac{1}{2}y^{2} é y.
      Logo
    f_{y}=-3x+y.
  • O sistema para pontos críticos é \begin{cases} 3x^{2}-3y=0,\\[4pt] -3x+y=0. \end{cases}]

Passo 3

Resolver o sistema \nabla f=0\n
  • Da segunda equação temos y=3x, pois -3x+y=0\Rightarrow y=3x.
  • Substituindo na primeira: 3x^{2}-3(3x)=0. Simplificando, 3x^{2}-9x=3x(x-3)=0.
  • Portanto as soluções para x são x=0 ou x=3. Com y=3x obtemos os pontos críticos: (x,y)=(0,0)\quad\text{e}\quad (x,y)=(3,9).

Passo 4

Montar a matriz Hessiana e explicar o teste de segunda derivada para classificação\n
  • Calcular as segundas derivadas: f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(3x^{2}-3y)=6x, \qquad f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(3x^{2}-3y)=-3, \qquad f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(-3x+y)=1.
  • A matriz Hessiana é H(x,y)=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\[4pt] f_{xy} & f_{yy}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}6x & -3\\[4pt]-3 & 1\end{pmatrix}.
  • Definimos o discriminante (determinante da Hessiana): D(x,y)=\det H(x,y)=f_{xx}f_{yy}-\bigl(f_{xy}\bigr)^{2}=6x\cdot 1 - (-3)^{2}=6x-9.
  • Regra de classificação (teste de segunda derivada em duas variáveis):
    • Se D>0 e f_{xx}>0, o ponto é mínimo relativo (Hessiana definida positiva).
    • Se D>0 e f_{xx}<0, o ponto é máximo relativo (Hessiana definida negativa).
    • Se D<0, o ponto é ponto de sela (Hessiana indefinida).
    • Se D=0, o teste é inconclusivo (não ocorre aqui).]

Passo 5

Aplicar o teste em cada ponto crítico\n
  • Em (0,0): f_{xx}(0,0)=6\cdot 0=0,\qquad D(0,0)=6\cdot 0-9=-9<0.Como D(0,0)<0, conclui-se que (0,0) é um ponto de sela.
  • Em (3,9): f_{xx}(3,9)=6\cdot 3=18>0,\qquad D(3,9)=6\cdot 3-9=18-9=9>0.Como D(3,9)>0 e f_{xx}(3,9)>0, conclui-se que (3,9) é um mínimo relativo.

Passo 6

Calcular os valores da função nos pontos críticos e comentar sobre extremos globais\n
  • Valor em (0,0): f(0,0)=0^{3}-3\cdot 0\cdot 0+\tfrac{1}{2}\cdot 0^{2}=0.
  • Valor em (3,9): f(3,9)=3^{3}-3\cdot 3\cdot 9+\tfrac{1}{2}\cdot 9^{2}=27-81+\tfrac{81}{2}=27-81+40,5=-13,5=\!-\tfrac{27}{2}.
  • Sobre extremos globais: a função é polinomial de grau 3 em x, por exemplo ao tomar y=0 obtemos f(x,0)=x^{3} que tende a +\infty quando x\to+\infty e a -\infty quando x\to-\infty. Assim f não é limitada nem acima nem abaixo, logo não existem máximos ou mínimos globais, apenas os extremos relativos já encontrados.

Resposta

Mínimos relativos: (3,9) com f(3,9)=-\tfrac{27}{2}.
Máximos relativos: nenhum.
Pontos de sela: (0,0) com f(0,0)=0.

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