Localize todos os mínimos relativos, máximos relativos e os pontos de sela.
f(x, y)=x^{2} y-6 y^{2}-3 x^{2}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Função dada: f(x,y)=x^{2}y-6y^{2}-3x^{2}.
  • Pedidos:
    1. Localizar todos os pontos críticos (onde derivadas parciais são zero).
    2. Classificar cada ponto crítico como mínimo relativo, máximo relativo ou ponto de sela.
  • Informações relevantes dadas: nenhuma figura ou restrição adicional — trabalhamos em todo o plano \mathbb{R}^2.

Passo 2

Cálculo das derivadas parciais (passo obrigatório para achar pontos críticos).
Primeiro lembrando: a derivada parcial de f em relação a x, denotada \dfrac{\partial f}{\partial x}, é obtida derivando f como função de x tratando y como constante. Similarmente para \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Calculemos:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}y-6y^{2}-3x^{2}\bigr) =2x y - 6x =2x(y-3).
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y-6y^{2}-3x^{2}\bigr) =x^{2}-12y.
Pontos críticos são soluções do sistema
\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x}=0,\\[4pt] \frac{\partial f}{\partial y}=0. \end{cases}
Iremos resolver esse sistema no próximo passo.]

Passo 3

Resolver o sistema das derivadas parciais igualadas a zero.
Temos
2x(y-3)=0\qquad\text{e}\qquad x^{2}-12y=0.
Da primeira equação surgem duas possibilidades:
  • Caso A: x=0. Substituindo na segunda: 0^{2}-12y=0 \Rightarrow y=0. Logo um ponto crítico é (0,0).
  • Caso B: y=3. Substituindo na segunda: x^{2}-12\cdot 3=0 \Rightarrow x^{2}-36=0 \Rightarrow x^{2}=36. Logo x=\pm 6. Assim obtemos os pontos críticos (6,3) e (-6,3).
Resumo dos pontos críticos encontrados: (0,0), (6,3) e (-6,3).

Passo 4

Explicação da ferramenta de classificação (segundo teste das derivadas parciais / Hessiana).
Para classificar um ponto crítico (x_0,y_0) usa-se a matriz Hessiana e o determinante associado. Definições:
  • f_{xx}=\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}, f_{xy}=\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}, f_{yy}=\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}.
  • Determinante da Hessiana em (x_0,y_0): D(x_0,y_0)=f_{xx}(x_0,y_0)\,f_{yy}(x_0,y_0)-\bigl(f_{xy}(x_0,y_0)\bigr)^{2}.
Regras (interpretadas de forma prática):
  • Se D>0 e f_{xx}>0 em (x_0,y_0) então mínimo relativo.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 em (x_0,y_0) então máximo relativo.
  • Se D<0 então ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo (precisa outro método).
No próximo passo calculamos as segundas derivadas e o determinante nos pontos críticos.

Passo 5

Calcular as segundas derivadas e a expressão de D(x,y).
Derivando as primeiras derivadas:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x(y-3)\bigr)=2(y-3).
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x(y-3)\bigr)=2x.
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}-12y\bigr)=-12.
Assim o determinante geral é
D(x,y)=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2} =2(y-3)\cdot(-12)-(2x)^{2} =-24(y-3)-4x^{2}.
Agora avaliamos f_{xx}, f_{xy}, f_{yy} e D em cada ponto crítico.

Passo 6

Avaliar em (0,0).
Calculemos as quantidades:
f_{xx}(0,0)=2(0-3)=-6, \qquad f_{xy}(0,0)=2\cdot 0=0, \qquad f_{yy}(0,0)=-12.
Determinante:
D(0,0)=(-6)\cdot(-12)-0^{2}=72>0.
Como D>0 e f_{xx}(0,0)=-6<0, pelo teste temos um máximo relativo em (0,0).
Para referência, o valor da função lá é
f(0,0)=0^{2}\cdot 0-6\cdot 0^{2}-3\cdot 0^{2}=0.

Passo 7

Avaliar em (6,3).
Calculemos:
f_{xx}(6,3)=2(3-3)=0, \qquad f_{xy}(6,3)=2\cdot 6=12, \qquad f_{yy}(6,3)=-12.
Determinante:
D(6,3)=0\cdot(-12)-12^{2}=-144<0.
Como D<0, temos classificação como ponto de sela em (6,3).
Valor da função ali:
f(6,3)=6^{2}\cdot 3 -6\cdot 3^{2}-3\cdot 6^{2}=36\cdot 3 -6\cdot 9 -3\cdot 36=108-54-108=-54.

Passo 8

Avaliar em (-6,3).
Calculemos:
f_{xx}(-6,3)=2(3-3)=0, \qquad f_{xy}(-6,3)=2\cdot(-6)=-12, \qquad f_{yy}(-6,3)=-12.
Determinante:
D(-6,3)=0\cdot(-12)-(-12)^{2}=-144<0.
Como D<0, também é ponto de sela em (-6,3).
Valor da função ali (note que depende de x^{2}, então igual ao caso anterior):
f(-6,3)=(-6)^{2}\cdot 3 -6\cdot 3^{2}-3\cdot (-6)^{2}=36\cdot 3 -54 -108=-54.

Passo 9

Conclusão e observações finais (encorajamento e interpretação rápida).
  • Encontramos três pontos críticos: (0,0), (6,3) e (-6,3).
  • O teste das segundas derivadas classificou (0,0) como máximo relativo e os dois pontos com y=3 como pontos de sela.
  • Não há mínimos relativos entre os pontos críticos encontrados.
  • Observação prática: o valor em (0,0) é f(0,0)=0 e em (\pm 6,3) vale f(\pm6,3)=-54. Isso ajuda a enxergar que (0,0) é de fato mais alto que os pontos de sela próximos — bom sinal de máximo relativo.
Força aí — estava meio disperso com a prova chegando? Esse tipo de problema costuma cair muito: achar derivadas, resolver sistema (atenção aos casos), e aplicar o teste com a Hessiana. Se quiser, praticamos mais exemplos parecidos para fixar.

Resposta

Máximos relativos: (0,0) (valor f(0,0)=0)
Mínimos relativos: nenhum
Pontos de sela: (6,3) e (-6,3) (valor f(\pm6,3)=-54)

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