Localize todos os mínimos relativos, máximos relativos e os pontos de sela. f(x, y)=x^{2} y-6 y^{2}-3 x^{2}
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
Função dada: f(x,y)=x^{2}y-6y^{2}-3x^{2}.
Pedidos:
Localizar todos os pontos críticos (onde derivadas parciais são zero).
Classificar cada ponto crítico como mínimo relativo, máximo relativo ou ponto de sela.
Informações relevantes dadas: nenhuma figura ou restrição adicional — trabalhamos em todo o plano \mathbb{R}^2.
Passo 2
Cálculo das derivadas parciais (passo obrigatório para achar pontos críticos).
Primeiro lembrando: a derivada parcial de f em relação a x, denotada \dfrac{\partial f}{\partial x}, é obtida derivando f como função de x tratando y como constante. Similarmente para \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Resolver o sistema das derivadas parciais igualadas a zero.
Temos
2x(y-3)=0\qquad\text{e}\qquad x^{2}-12y=0.
Da primeira equação surgem duas possibilidades:
Caso A: x=0. Substituindo na segunda: 0^{2}-12y=0 \Rightarrow y=0. Logo um ponto crítico é (0,0).
Caso B: y=3. Substituindo na segunda: x^{2}-12\cdot 3=0 \Rightarrow x^{2}-36=0 \Rightarrow x^{2}=36. Logo x=\pm 6. Assim obtemos os pontos críticos (6,3) e (-6,3).
Resumo dos pontos críticos encontrados: (0,0), (6,3) e (-6,3).
Passo 4
Explicação da ferramenta de classificação (segundo teste das derivadas parciais / Hessiana).
Para classificar um ponto crítico (x_0,y_0) usa-se a matriz Hessiana e o determinante associado. Definições:
Conclusão e observações finais (encorajamento e interpretação rápida).
Encontramos três pontos críticos: (0,0), (6,3) e (-6,3).
O teste das segundas derivadas classificou (0,0) como máximo relativo e os dois pontos com y=3 como pontos de sela.
Não há mínimos relativos entre os pontos críticos encontrados.
Observação prática: o valor em (0,0) é f(0,0)=0 e em (\pm 6,3) vale f(\pm6,3)=-54. Isso ajuda a enxergar que (0,0) é de fato mais alto que os pontos de sela próximos — bom sinal de máximo relativo.
Força aí — estava meio disperso com a prova chegando? Esse tipo de problema costuma cair muito: achar derivadas, resolver sistema (atenção aos casos), e aplicar o teste com a Hessiana. Se quiser, praticamos mais exemplos parecidos para fixar.
Resposta
Máximos relativos: (0,0) (valor f(0,0)=0)
Mínimos relativos: nenhum
Pontos de sela: (6,3) e (-6,3) (valor f(\pm6,3)=-54)