Localize todos os mínimos relativos, máximos relativos e os pontos de sela.
Passo 1
O enunciado pede: localizar todos os mínimos relativos, máximos relativos e pontos de sela da função
Informações relevantes fornecidas:
- A função é um polinômio quadrático em
e , definida para todo . - Preciso encontrar os pontos críticos (onde as derivadas parciais simultaneamente se anulam) e classificar cada um como mínimo relativo, máximo relativo ou ponto de sela.
- Não há restrições de domínio nem imagens adicionais.
Passo 2
Encontrar os pontos críticos: calcular as derivadas parciais e resolver o sistema
.
Explicação/conceito (gradiente e pontos críticos): o gradiente
é o vetor das derivadas parciais
e os pontos críticos são os pontos onde
(ou onde as derivadas não existem). Aqui as derivadas existem em todo lugar, então buscamos onde elas são zero.
Calculemos as derivadas parciais:
Passo 3
Calcular explicitamente as derivadas parciais e montar o sistema.
Derivando termo a termo:
Os pontos críticos satisfazem
Agora resolvemos esse sistema linear. Faço eliminação: multiplicando a primeira equação por
Subtraindo a primeira da segunda:
Substituindo em (2x+3y-6=0]:
Portanto há um único ponto crítico em
.]
Passo 4
Como classificar o ponto crítico: introdução ao teste das segundas derivadas (Hessiano).
Explicação/conceito (Hessiano e teste):
- Para funções
com segundas derivadas contínuas, o Hessiano é a matriz das segundas derivadas:
- Defina o discriminante (determinante do Hessiano) em um ponto crítico como
avaliado no ponto crítico.
- Regra de classificação:
- Se
e no ponto crítico, então tem mínimo relativo ali. - Se
e , então é máximo relativo. - Se
, então é ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo (precisa de análise mais aprofundada).
- Se
- Intuição curta:
mede curvatura na direção ; combina as curvaturas para ver se a forma é “côncava” ou “convexa” em todas as direções.]
Passo 5
Calcular as segundas derivadas da função e o determinante do Hessiano.
Derivadas segundas:
(Observação:
como esperado pela continuidade das segundas derivadas.)
O determinante do Hessiano (valor constante, pois as segundas derivadas são constantes) é
Passo 6
Aplicar o teste no ponto crítico
.
Como
e
, pela regra do teste das segundas derivadas concluímos que o ponto crítico
é um mínimo relativo. Além disso, por ser um quadrático com Hessiano definido positivo (
e
), a função é convexa globalmente e esse mínimo relativo é também mínimo global.
Para informação completa, calculo o valor da função no ponto:
Faço as contas passo a passo:
Somando:
Passo 7
Conclusão final (resumo): existe exatamente um ponto crítico e ele é um mínimo (relativo e global). Não há máximos relativos nem pontos de sela.
Resposta
Mínimo relativo (e global):
, valor
Máximos relativos: nenhum
Pontos de sela: nenhum
Máximos relativos: nenhum
Pontos de sela: nenhum