Localize todos os mínimos relativos, máximos relativos e os pontos de sela.
f(x, y)=x^{2}+3 x y+3 y^{2}-6 x+3 y

Passo 1

O enunciado pede: localizar todos os mínimos relativos, máximos relativos e pontos de sela da função
f(x,y)=x^{2}+3xy+3y^{2}-6x+3y.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é um polinômio quadrático em x e y, definida para todo (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.
  • Preciso encontrar os pontos críticos (onde as derivadas parciais simultaneamente se anulam) e classificar cada um como mínimo relativo, máximo relativo ou ponto de sela.
  • Não há restrições de domínio nem imagens adicionais.

Passo 2

Encontrar os pontos críticos: calcular as derivadas parciais e resolver o sistema \nabla f=0.
Explicação/conceito (gradiente e pontos críticos): o gradiente \nabla f é o vetor das derivadas parciais
\nabla f(x,y)=\begin{pmatrix}f_x(x,y)\\[4pt] f_y(x,y)\end{pmatrix},
e os pontos críticos são os pontos onde \nabla f(x,y)=\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix} (ou onde as derivadas não existem). Aqui as derivadas existem em todo lugar, então buscamos onde elas são zero.
Calculemos as derivadas parciais:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}+3xy+3y^{2}-6x+3y\big),
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}+3xy+3y^{2}-6x+3y\big).]

Passo 3

Calcular explicitamente as derivadas parciais e montar o sistema.
Derivando termo a termo:
f_x(x,y)=2x+3y-6,
f_y(x,y)=3x+6y+3.
Os pontos críticos satisfazem
\begin{cases} 2x+3y-6=0,\\[4pt] 3x+6y+3=0. \end{cases}
Agora resolvemos esse sistema linear. Faço eliminação: multiplicando a primeira equação por 3\) e a segunda por \(2\), \[\begin{cases} 6x+9y-18=0,\\[4pt] 6x+12y+6=0. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda:
(6x+12y+6)-(6x+9y-18)=0 \;\Rightarrow\; 3y+24=0 \;\Rightarrow\; y=-8.
Substituindo em (2x+3y-6=0]:
2x+3(-8)-6=0 \;\Rightarrow\; 2x-24-6=0 \;\Rightarrow\; 2x=30 \;\Rightarrow\; x=15.
Portanto há um único ponto crítico em (x,y)=(15,-8).]

Passo 4

Como classificar o ponto crítico: introdução ao teste das segundas derivadas (Hessiano).
Explicação/conceito (Hessiano e teste):
  • Para funções f(x,y) com segundas derivadas contínuas, o Hessiano é a matriz das segundas derivadas:
H_f(x,y)=\begin{pmatrix} f_{xx}(x,y) & f_{xy}(x,y)\\[4pt] f_{yx}(x,y) & f_{yy}(x,y)\end{pmatrix}.
  • Defina o discriminante (determinante do Hessiano) em um ponto crítico como
D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2},
avaliado no ponto crítico.
  • Regra de classificação:
    • Se D>0 e f_{xx}>0 no ponto crítico, então f tem mínimo relativo ali.
    • Se D>0 e f_{xx}<0, então é máximo relativo.
    • Se D<0, então é ponto de sela.
    • Se D=0, o teste é inconclusivo (precisa de análise mais aprofundada).
  • Intuição curta: f_{xx} mede curvatura na direção x; D combina as curvaturas para ver se a forma é “côncava” ou “convexa” em todas as direções.]

Passo 5

Calcular as segundas derivadas da função e o determinante do Hessiano.
Derivadas segundas:
f_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(f_x)=\frac{\partial}{\partial x}(2x+3y-6)=2,
f_{yy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(f_y)=\frac{\partial}{\partial y}(3x+6y+3)=6,
f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(f_x)=\frac{\partial}{\partial y}(2x+3y-6)=3.
(Observação: f_{xy}=f_{yx}=3 como esperado pela continuidade das segundas derivadas.)
O determinante do Hessiano (valor constante, pois as segundas derivadas são constantes) é
D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2}=2\cdot 6 - 3^{2}=12-9=3.

Passo 6

Aplicar o teste no ponto crítico (15,-8).
Como D=3>0 e f_{xx}=2>0, pela regra do teste das segundas derivadas concluímos que o ponto crítico (15,-8) é um mínimo relativo. Além disso, por ser um quadrático com Hessiano definido positivo ( D>0 e f_{xx}>0), a função é convexa globalmente e esse mínimo relativo é também mínimo global.
Para informação completa, calculo o valor da função no ponto:
f(15,-8)=15^{2}+3\cdot 15\cdot(-8)+3\cdot(-8)^{2}-6\cdot 15+3\cdot(-8).
Faço as contas passo a passo:
15^{2}=225,\qquad 3\cdot15\cdot(-8)=-360,\qquad 3\cdot(-8)^{2}=3\cdot64=192,
-6\cdot15=-90,\qquad 3\cdot(-8)=-24.
Somando:
225-360+192-90-24 = -57.

Passo 7

Conclusão final (resumo): existe exatamente um ponto crítico e ele é um mínimo (relativo e global). Não há máximos relativos nem pontos de sela.

Resposta

Mínimo relativo (e global): (15,-8), valor f(15,-8)=-57
Máximos relativos: nenhum
Pontos de sela: nenhum

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