1. Se \log a=5, \log b=3 e \log c=2, então \log \left(\frac{a \cdot b^{2}}{\sqrt{c}}\right) é:

Passo 1

O enunciado dá os valores \log a=5, \log b=3 e \log c=2 e pede calcular
\log\!\left(\frac{a\cdot b^{2}}{\sqrt{c}}\right).
Informações relevantes que temos:
  • Os três logaritmos fornecidos estão na mesma base (o enunciado assume isso).
  • Queremos o logaritmo do quociente \dfrac{a\cdot b^{2}}{\sqrt{c}}.

Passo 2

Relembrando e explicando as propriedades de logaritmo que vamos usar (mini-aula):
  • A definição: \log_{\beta} x = y significa que \beta^{y}=x, onde \beta é a base do logaritmo. Aqui a base é a mesma para todos os logs, mas não precisamos saber qual é.
  • Propriedade do produto:
\log(xy)=\log x+\log y,
ou seja, o log de um produto vira soma dos logs.
  • Propriedade da potência:
\log(x^{r})=r\log x,
isto é, o expoente sai como multiplicador.
  • Propriedade do quociente:
\log\!\left(\frac{x}{y}\right)=\log x-\log y.
  • Em particular, \sqrt{c}=c^{1/2}, então
\log(\sqrt{c})=\log(c^{1/2})=\tfrac{1}{2}\log c.
Essas propriedades são consequência direta da definição de logaritmo e das leis de potências.

Passo 3

Aplicando as propriedades passo a passo à expressão pedida:
\log\!\left(\frac{a\cdot b^{2}}{\sqrt{c}}\right) = \log(a\cdot b^{2}) - \log(\sqrt{c})
pela propriedade do quociente. Em seguida,
\log(a\cdot b^{2}) = \log a + \log(b^{2}) = \log a + 2\log b
pela propriedade do produto e da potência. E
\log(\sqrt{c})=\tfrac{1}{2}\log c.
Juntando,
\log\!\left(\frac{a\cdot b^{2}}{\sqrt{c}}\right) = \log a + 2\log b - \tfrac{1}{2}\log c.

Passo 4

Agora substituímos os valores fornecidos \log a=5, \log b=3, \log c=2:
\log\!\left(\frac{a\cdot b^{2}}{\sqrt{c}}\right) = 5 + 2\cdot 3 - \tfrac{1}{2}\cdot 2.
Calcule passo a passo:
2\cdot 3 = 6, \qquad \tfrac{1}{2}\cdot 2 = 1,
portanto
5 + 6 - 1 = 10.

Passo 5

Interpretação rápida: o resultado \log\!\left(\dfrac{a b^{2}}{\sqrt{c}}\right)=10 significa que, na base dos logs usados, a quantidade \dfrac{a b^{2}}{\sqrt{c}} é a mesma que a base elevada a 10.

Resposta

10

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