Se \log _{b} a=\log _{a} b^{2}, qual a relação entre a e b ?

Passo 1

O enunciado dá a igualdade entre dois logaritmos e pede uma relação entre a e b. Informação fornecida:
  • \log_{b} a = \log_{a} b^{2}.
Condições implícitas (domínio dos logaritmos):
  • a>0, b>0,
  • a \neq 1, b \neq 1.
O que se pede: expressar a relação entre a e b (por exemplo, escrever b em termos de a ou vice-versa).

Passo 2

Vamos usar uma identidade básica de mudança de base de logaritmos. Para quaisquer u>0, v>0 com u\neq1, v\neq1,
\log_{v} u=\frac{\ln u}{\ln v}
e portanto
\log_{v} u=\frac{1}{\log_{u} v}.
Explicando rápido: \log_{v} u é o número que elevando v u. Trocar base equivale a dividir logaritmos naturais, e isso mostra que \log_v u e \log_u v são recíprocos.

Passo 3

Aplicando essa identidade ao lado esquerdo da igualdade do enunciado, obtemos
\log_{b} a=\frac{1}{\log_{a} b}.
Como o enunciado diz que isso é igual a \log_{a} b^{2}, temos
\frac{1}{\log_{a} b}=\log_{a} b^{2}.

Passo 4

Use a propriedade do logaritmo de potência: para qualquer t,
\log_{a} b^{2}=2\log_{a} b.
Substituindo na equação do Passo 3:
\frac{1}{\log_{a} b}=2\log_{a} b.

Passo 5

Defina x=\log_{a} b. A equação do passo anterior fica
\frac{1}{x}=2x.
Multiplicando ambos os lados por x (lembrando que x\neq0 porque a\neq1 e b\neq1),
1=2x^{2}.
Logo
x^{2}=\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 6

Volte à definição x=\log_{a} b. Isso significa b=a^{x}. Substituindo os dois valores de x obtidos:
  • se x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}, então b=a^{1/\sqrt{2}};
  • se x=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}, então b=a^{-1/\sqrt{2}}=\dfrac{1}{a^{1/\sqrt{2}}}.
Ambas as soluções respeitam as condições a>0, a\neq1 (e resultam em b>0, b\neq1 desde que a não seja 1).

Resposta

b=a^{1/\sqrt{2}}
b=a^{-1/\sqrt{2}}

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