Se
, qual a relação entre
e
?
Passo 1
O enunciado dá a igualdade entre dois logaritmos e pede uma relação entre
e
. Informação fornecida:
-
.
Condições implícitas (domínio dos logaritmos):
-
, , -
, .
O que se pede: expressar a relação entre
e
(por exemplo, escrever
em termos de
ou vice-versa).
Passo 2
Vamos usar uma identidade básica de mudança de base de logaritmos. Para quaisquer
,
com
,
,
e portanto
Explicando rápido:
é o número que elevando
dá
. Trocar base equivale a dividir logaritmos naturais, e isso mostra que
e
são recíprocos.
Passo 3
Aplicando essa identidade ao lado esquerdo da igualdade do enunciado, obtemos
Como o enunciado diz que isso é igual a
, temos
Passo 4
Use a propriedade do logaritmo de potência: para qualquer
,
Substituindo na equação do Passo 3:
Passo 5
Defina
. A equação do passo anterior fica
Multiplicando ambos os lados por
(lembrando que
porque
e
),
Logo
Passo 6
Volte à definição
. Isso significa
. Substituindo os dois valores de
obtidos:
- se
, então ; - se
, então .
Ambas as soluções respeitam as condições
,
(e resultam em
,
desde que
não seja 1).