Questão 1. Suponha que, se selecionarmos aleatoriamente uma pessoa em Sāo Carlos, há uma probabilidade de 0,55 dela ser estudante, 0,4 de trabalhar com carteira assinada e 0,15 de ser estudante e trabalhar com carteira assinada. Além disso, suponha que, dentre as pessoas que trabalham com carteira assinada, há uma probabilidade de 0,6 da pessoa ter casa própria, dentre as pessoas que nāo trabalham com carteira assinada essa probabilidade é de 0,2 . Considere que selecionamos aleatoriamente uma pessoa de São Carlos.
(e) Qual é a probabilidade de ter casa própria, desconsiderando se trabalha com carteira assinada ou nāo?
(e) Qual é a probabilidade de ter casa própria, desconsiderando se trabalha com carteira assinada ou nāo?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente os números fornecidos):
- Probabilidade de ser estudante:
. - Probabilidade de trabalhar com carteira assinada:
. - Probabilidade de ser estudante e trabalhar com carteira assinada:
. - Dentre as pessoas que trabalham com carteira assinada, a probabilidade de ter casa própria é
. - Dentre as pessoas que não trabalham com carteira assinada, a probabilidade de ter casa própria é
.
A pergunta (e) é:
- Qual é a probabilidade de ter casa própria, desconsiderando se trabalha com carteira assinada ou não?
Passo 2
Vou introduzir notação simples para trabalhar com esses números:
- Seja
o evento “trabalha com carteira assinada”. - Seja
o evento “tem casa própria”.
Das informações do enunciado temos, em notação:
-
. -
. -
, onde é o evento “não trabalha com carteira assinada”.
Calculemos também a probabilidade do complemento:
-
.
Observação: a informação sobre ser estudante (
e
) não é necessária para responder esta parte; aqui só precisamos da divisão entre quem trabalha com carteira e quem não trabalha com carteira e das probabilidades condicionais dadas.
Passo 3
Explicando o conceito que vamos usar (passo-a-passo didático):
- A probabilidade condicional
significa “a probabilidade de ter casa própria sabendo que a pessoa trabalha com carteira”. - Pela definição de probabilidade condicional:
Assim podemos escrever - De forma análoga:
- Os eventos
e formam uma partição do espaço (ou seja, toda pessoa pertence ou a ou a , sem sobreposição). Portanto a probabilidade de (ter casa) pode ser obtida somando as interseções com cada parte da partição: - Substituindo as expressões em termos das condicionais obtemos a fórmula conhecida como lei da probabilidade total (aqui ela aparece de forma natural):
Passo 4
Agora aplico a fórmula com os números fornecidos, passo a passo, sem pular contas:
- Primeiro termo:
Calcule: - Segundo termo:
Calcule: - Somando os dois termos:
Passo 5
Verificação com um exemplo numérico concreto (ajuda a entender): suponha uma população de
pessoas.
-
trabalham com carteira: pessoas. Dessas, têm casa: pessoas com casa. -
não trabalham com carteira: pessoas. Dessas, têm casa: pessoas com casa. - Total com casa:
em , ou seja . Confere com o cálculo anterior.
Força aí — você já tem a resposta e entendeu por que funciona; a ideia é sempre dividir em casos que formam uma partição e somar as contribuições de cada caso.