Uma loja está fazendo uma promoção na venda de bolas: “Compre x bolas e ganhe x \% de desconto”. A promoção é vâlida para compras de até 60 bolas, caso em que é concedido o desconto máximo de 60 \%. Julia comprou 41 bolas mas poderia ter comprado mais bolas e gastando a mesma quantia. Quantas bolas a mais Julia poderia ter comprado?
(A) 10
(B) 12
(C) 14
(D) 18
(E) 24

Passo 1

O enunciado descreve uma promoção em que, para comprar x bolas (até no máximo 60), ganha-se desconto de x\%. Julia comprou 41 bolas. Vamos determinar quantas bolas a mais ela poderia ter comprado mantendo o mesmo gasto.

Passo 2

Seja P o preço unitário de uma bola sem desconto. Para comprar x bolas, o valor pago é
S(x)=x\,P\bigl(1-\tfrac{x}{100}\bigr) =\tfrac{x\,(100-x)}{100}\,P.
Em particular, o gasto de Julia foi
S(41)=\tfrac{41\,(100-41)}{100}\,P =\tfrac{41\cdot 59}{100}\,P.

Passo 3

Queremos achar um número inteiro y>41 tal que
S(y)=S(41),
ou seja,
\tfrac{y\,(100-y)}{100}\,P =\tfrac{41\cdot 59}{100}\,P \quad\Longrightarrow\quad y\,(100-y)=41\cdot 59=2419.

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática
y^2-100y+2419=0,
o discriminante é
\Delta=100^2-4\cdot2419=10000-9676=324, \sqrt{\Delta}=18. Logo as raízes são
y=\frac{100\pm18}{2} \quad\Longrightarrow\quad y=41\quad\text{ou}\quad y=59.

Passo 5

Desprezando y=41 (já era a compra inicial) e lembrando que o máximo permitido é 60 bolas, ficamos com y=59. Portanto Julia poderia ter comprado 59-41=18 bolas a mais gastando exatamente o mesmo.

Resposta

18

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