Utilize os Multiplicadores de Lagrange para determinar os pontos críticos da função dada, sujeitos aos vínculos (restrições) dadas.
(b) f(x, y)=x^{2}+y^{2}+z^{2} com a restrição -x^{2}+y^{2}=0.

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos críticos de
f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}
sujeito à restrição
g(x,y,z) = -x^{2}+y^{2}=0.
O conteúdo é aplicação do método dos multiplicadores de Lagrange, em que igualamos \nabla f a \lambda\,\nabla g junto com a própria condição g=0.

Passo 2

Formamos a função de Lagrange
L(x,y,z,\lambda) = f(x,y,z) - \lambda\,g(x,y,z) = x^{2}+y^{2}+z^{2} - \lambda\bigl(-x^{2}+y^{2}\bigr).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
\frac{\partial L}{\partial x} =2x +2\lambda x =2x(1+\lambda)=0,
\frac{\partial L}{\partial y} =2y -2\lambda y =2y(1-\lambda)=0,
\frac{\partial L}{\partial z} =2z=0,
e mantemos a restrição
-x^{2}+y^{2}=0.

Passo 4

Das equações 2x(1+\lambda)=0 e 2y(1-\lambda)=0 e da restrição, temos as possibilidades:
  • Se x\neq0 então 1+\lambda=0\implies\lambda=-1, mas daí 2y(1-\lambda)=2y(2)=0\implies y=0, e a restrição força x=0. Contradição.
  • Se y\neq0 então 1-\lambda=0\implies\lambda=1, mas daí 2x(1+\lambda)=2x(2)=0\implies x=0, e a restrição força y=0. Contradição.
  • Logo só resta x=0 ou y=0. Pela restrição segue x=0 e y=0. De 2z=0 vem z=0.

Resposta

O único ponto crítico é
( x,y,z ) = (0,0,0).

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