(Leithold página 1011) Determine a menor distância do ponto (1,0,0) a um ponto do plano x+4 y-z=5.
Passo 1
O enunciado pede a menor distância do ponto P_0=(1,0,0) a um plano. O conteúdo é geometria analítica no espaço, em particular o cálculo da distância de um ponto a um plano usando a projeção ortogonal sobre a normal do plano.
Passo 2
Para calcular essa distância, lembramos a fórmula para o plano dado por
Ax + By + Cz + D = 0:
d = \frac{\bigl|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D\bigr|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.
Reescrevendo o plano x + 4y - z = 5 como
x + 4y - z - 5 = 0
vemos que A=1, B=4, C=-1 e D=-5.
Passo 3
Substituindo P_0=(1,0,0) na fórmula:
A x_0 + B y_0 + C z_0 + D = 1\cdot1 + 4\cdot0 + (-1)\cdot0 + (-5) = -4,