(Leithold página 1011) Determine a menor distância do ponto (1,0,0) a um ponto do plano x+4 y-z=5.

Passo 1

O enunciado pede a menor distância do ponto P_0=(1,0,0) a um plano. O conteúdo é geometria analítica no espaço, em particular o cálculo da distância de um ponto a um plano usando a projeção ortogonal sobre a normal do plano.

Passo 2

Para calcular essa distância, lembramos a fórmula para o plano dado por
Ax + By + Cz + D = 0:
d = \frac{\bigl|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D\bigr|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.
Reescrevendo o plano x + 4y - z = 5 como
x + 4y - z - 5 = 0
vemos que A=1, B=4, C=-1 e D=-5.

Passo 3

Substituindo P_0=(1,0,0) na fórmula:
A x_0 + B y_0 + C z_0 + D = 1\cdot1 + 4\cdot0 + (-1)\cdot0 + (-5) = -4,
\sqrt{A^2 + B^2 + C^2} = \sqrt{1^2 + 4^2 + (-1)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}.
Logo,
d = \frac{\bigl|-4\bigr|}{3\sqrt{2}} = \frac{4}{3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}.

Resposta

A menor distância vale \displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}.

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