Em uma loja de roupas, temos camisetas de apenas três cores: preta, branca e cinza. Os preços dessas camisetas são os seguintes: R$50,00 a preta, R$ 70,00 a branca e R$100,00 a cinza. João Pedro gastou exatamente R$ 650,00 nessa loja, tendo adquirido pelo menos uma camiseta de cada cor. Considerando apenas essas informações, o número mínimo e o número máximo de camisetas que João Pedro pode ter comprado são, respectivamente, iguais a:
(A) \quad 9 e 10 .
(B) \quad 8 e 11 .
(C) \quad 8 \mathrm{e} 10.
(D) \quad 9 e 13 .
(E) \quad 7 \mathrm{e} 13.

Passo 1

O enunciado pede soluções inteiras positivas (x,y,z) de
50x + 70y + 100z = 650,
com a condição de ter pelo menos uma camiseta de cada cor x,y,z\ge1. Devemos determinar o número total T=x+y+z mínimo e máximo possíveis.

Passo 2

Dividindo a equação dos preços por 10, obtemos a forma diophantina mais simples
5x + 7y + 10z = 65,
onde ainda valem x\ge1, y\ge1 e z\ge1.

Passo 3

Analisamos a congruência dessa equação módulo 5:
5x + 7y + 10z \equiv 0 + 2y + 0 \equiv 65 \equiv 0 \pmod{5},
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2y \equiv 0 \pmod{5} \quad\Longrightarrow\quad y \equiv 0 \pmod{5}.
Como y\ge1 e 7y\le65, a única opção é y=5.

Passo 4

Substituindo y=5 na equação reduzida:
5x + 7\cdot5 + 10z = 65 \quad\Longrightarrow\quad 5x + 35 + 10z = 65 \quad\Longrightarrow\quad 5x + 10z = 30
dividindo por 5:
x + 2z = 6.
Como x\ge1 e z\ge1, as soluções inteiras são obtidas variando z:
  • Se z=1, então x = 6 - 2\cdot1 = 4.
  • Se z=2, então x = 6 - 2\cdot2 = 2.
Não há outras soluções com x,z\ge1.

Passo 5

Para cada solução, calculamos T = x+y+z:
  • Caso (x,y,z)=(4,5,1) temos T = 4+5+1 = 10.
  • Caso (x,y,z)=(2,5,2) temos T = 2+5+2 = 9.
Logo, o número mínimo de camisetas é 9 e o máximo é 10.

Resposta

(A) 9 e 10.

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