Em uma loja de roupas, temos camisetas de apenas três cores: preta, branca e cinza. Os preços dessas camisetas são os seguintes: R$50,00 a preta, R$ 70,00 a branca e R$100,00 a cinza. João Pedro gastou exatamente R$ 650,00 nessa loja, tendo adquirido pelo menos uma camiseta de cada cor. Considerando apenas essas informações, o número mínimo e o número máximo de camisetas que João Pedro pode ter comprado são, respectivamente, iguais a:
(A)
e 10 .
(B)
e 11 .
(C)
.
(D)
e 13 .
(E)
.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado pede soluções inteiras positivas
de
com a condição de ter pelo menos uma camiseta de cada cor
. Devemos determinar o número total
mínimo e máximo possíveis.
Passo 2
Dividindo a equação dos preços por
, obtemos a forma diophantina mais simples
onde ainda valem
,
e
.
Passo 3
Analisamos a congruência dessa equação módulo
:
logo
Como
e
, a única opção é
.
Passo 4
Substituindo
na equação reduzida:
dividindo por
:
Como
e
, as soluções inteiras são obtidas variando
:
- Se
, então . - Se
, então .
Não há outras soluções com
.
Passo 5
Para cada solução, calculamos
:
- Caso
temos . - Caso
temos .
Logo, o número mínimo de camisetas é
e o máximo é
.
Resposta
(A)
e
.