A London Eye, é uma das maiores rodas gigantes do mundo. Podemos descrever seu movimento de giro por meio de uma função trigonométrica:
em que
é a altura, em metro, no instante t , em minuto, a partir do início da medição do tempo
.
a) Determine a altura máxima e a altura mínima;
b) Em quantos minutos a roda dá uma volta completa?
a) Determine a altura máxima e a altura mínima;
b) Em quantos minutos a roda dá uma volta completa?
Passo 1
O enunciado fornece a função da altura da London Eye em função do tempo:
onde
é a altura em metros e
é o tempo em minutos contado desde
.
O que é pedido:
a) Determinar a altura máxima e a altura mínima alcançadas por .
b) Determinar em quantos minutos a roda dá uma volta completa (ou seja, o período do movimento).
a) Determinar a altura máxima e a altura mínima alcançadas por
b) Determinar em quantos minutos a roda dá uma volta completa (ou seja, o período do movimento).
Informações relevantes dadas pelo enunciado (que vamos usar):
- O termo constante aditivo é
. - O coeficiente multiplicando a função seno é
. - O argumento do seno é
.
Passo 2
Entendendo a forma geral e como achar máximo e mínimo (aula rápida, passo a passo).
Uma função senoidal típica pode ser escrita como
onde:
-
é a amplitude: dá a distância máxima acima/abaixo da linha média; o valor absoluto mostra o quanto a função se afasta da linha média. -
é o deslocamento vertical (linha média): a função oscila em torno de . -
é a frequência angular (liga ao período).
Propriedade importante do seno: para todo
,
Portanto, para
a altura máxima ocorre quando
e a mínima quando
. Assim:
Aplicando isso à nossa função: aqui
e
. Logo:
Calculando explicitamente:
Passo 3
Determinar o período (aula rápida sobre período).
Para a função do tipo
, o período
(tempo que leva para completar um ciclo completo) é dado por
porque
e queremos
para retornar ao mesmo ponto do ciclo.
Na função dada, o argumento do seno é
. Isso significa que a frequência angular é
Substituindo na fórmula do período:
Agora simplificamos:
Portanto, o período é
minutos.
Passo 4
Relação período ↔ volta completa (interpretação prática).
O período
minutos significa que, depois de
minutos, a função
retorna ao mesmo valor e à mesma fase do ciclo senoidal — isto corresponde a uma volta completa da roda (o ponto considerado volta à mesma posição). Note que valores iguais de altura podem ocorrer em outros instantes (por simetria), mas somente após
minutos o ciclo inteiro (posição e movimento) se repete exatamente, caracterizando uma volta completa.
Passo 5
Resumo do raciocínio (motivacional): usamos que o seno varia entre
e
para obter máxima e mínima a partir da amplitude e deslocamento vertical, e usamos a fórmula do período
com
para achar o tempo de uma volta. Você já tem tudo que precisa para aplicar o mesmo método a qualquer função do tipo
— vai dar certo na prova; respira fundo e lembra que dá pra resolver!
Resposta
a) altura máxima
e altura mínima
b) uma volta completa em minutos
b) uma volta completa em