A London Eye, é uma das maiores rodas gigantes do mundo. Podemos descrever seu movimento de giro por meio de uma função trigonométrica:
f(t)=71+64 \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{\pi t}{15}\right)
em que f(t) é a altura, em metro, no instante t , em minuto, a partir do início da medição do tempo (t=0).
a) Determine a altura máxima e a altura mínima;
b) Em quantos minutos a roda dá uma volta completa?

Passo 1

O enunciado fornece a função da altura da London Eye em função do tempo:
f(t)=71+64\cdot \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi t}{15}\right),
onde f(t) é a altura em metros e t é o tempo em minutos contado desde t=0.
O que é pedido:
a) Determinar a altura máxima e a altura mínima alcançadas por f(t).
b) Determinar em quantos minutos a roda dá uma volta completa (ou seja, o período do movimento).
Informações relevantes dadas pelo enunciado (que vamos usar):
  • O termo constante aditivo é 71.
  • O coeficiente multiplicando a função seno é 64.
  • O argumento do seno é \dfrac{\pi t}{15}.

Passo 2

Entendendo a forma geral e como achar máximo e mínimo (aula rápida, passo a passo).
Uma função senoidal típica pode ser escrita como
g(t)=D + A\cdot \sin(\omega t),
onde:
  • A é a amplitude: dá a distância máxima acima/abaixo da linha média; o valor absoluto |A| mostra o quanto a função se afasta da linha média.
  • D é o deslocamento vertical (linha média): a função oscila em torno de D.
  • \omega é a frequência angular (liga ao período).
Propriedade importante do seno: para todo x,
-1 \le \sin(x) \le 1.
Portanto, para g(t)=D+A\sin(\omega t) a altura máxima ocorre quando \sin(\omega t)=1 e a mínima quando \sin(\omega t)=-1. Assim:
\text{máx}(g)=D+|A|,\qquad \text{mín}(g)=D-|A|.áí
Aplicando isso à nossa função: aqui D=71 e A=64. Logo:
\text{altura máxima} = 71 + 64,á
\text{altura mínima} = 71 - 64.í
Calculando explicitamente:
71+64=135,
71-64=7.

Passo 3

Determinar o período (aula rápida sobre período).
Para a função do tipo \sin(\omega t), o período T (tempo que leva para completar um ciclo completo) é dado por
T=\frac{2\pi}{\omega},
porque \sin(\omega (t+T))=\sin(\omega t + \omega T) e queremos \omega T=2\pi para retornar ao mesmo ponto do ciclo.
Na função dada, o argumento do seno é \dfrac{\pi t}{15}. Isso significa que a frequência angular é
\omega=\frac{\pi}{15}.
Substituindo na fórmula do período:
T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{\tfrac{\pi}{15}}.
Agora simplificamos:
T=2\pi\cdot\frac{15}{\pi}=2\cdot15=30.
Portanto, o período é 30 minutos.

Passo 4

Relação período ↔ volta completa (interpretação prática).
O período T=30 minutos significa que, depois de 30 minutos, a função f(t) retorna ao mesmo valor e à mesma fase do ciclo senoidal — isto corresponde a uma volta completa da roda (o ponto considerado volta à mesma posição). Note que valores iguais de altura podem ocorrer em outros instantes (por simetria), mas somente após T minutos o ciclo inteiro (posição e movimento) se repete exatamente, caracterizando uma volta completa.

Passo 5

Resumo do raciocínio (motivacional): usamos que o seno varia entre -1 e 1 para obter máxima e mínima a partir da amplitude e deslocamento vertical, e usamos a fórmula do período T=2\pi/\omega com \omega=\pi/15 para achar o tempo de uma volta. Você já tem tudo que precisa para aplicar o mesmo método a qualquer função do tipo D+A\sin(\omega t) — vai dar certo na prova; respira fundo e lembra que dá pra resolver!

Resposta

a) altura máxima 135\\ \text{m} e altura mínima 7\\ \text{m}
b) uma volta completa em 30 minutos

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