A tensão de um circuito elétrico pode ser descrita por uma senóide. Dada a tensão:
V(t)=12 \cdot \operatorname{sen}\left(50 \cdot t+\frac{\pi}{2}\right)
sendo V(t) em volts e t em segundos.
Determine a voltagem máxima e a voltagem mínima desse circuito;

Passo 1

O enunciado nos dá a tensão elétrica como função do tempo:
V(t)=12\cdot \operatorname{sen}\!\left(50\cdot t+\frac{\pi}{2}\right),
onde V(t) está em volts e t em segundos.
O que o problema pede: determinar a voltagem máxima e a voltagem mínima desse circuito (ou seja, os maiores e menores valores possíveis de V(t)).
Informações fornecidas que vamos usar:
  • Amplitude numérica 12 (coeficiente multiplicando a função seno).
  • Argument da seno é 50t+\frac{\pi}{2} (contém a frequência angular e deslocamento de fase).
  • Unidades: resultado em volts.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): a função seno tem valores sempre entre -1 e 1. Em termos matemáticos:
-1 \le \sin(\theta) \le 1\quad\text{para todo }\theta\in\mathbb{R}.
Isto é porque o seno é a coordenada vertical de um ponto no círculo unitário; por isso não pode exceder 1 nem ser menor que -1.
Quando multiplicamos a seno por uma constante A (a amplitude), a desigualdade escala proporcionalmente:
-1 \le \sin(\theta) \le 1 \quad\Longrightarrow\quad -A \le A\sin(\theta) \le A.
Aqui A>0 é a amplitude. No nosso caso A=12.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao nosso V(t): como \operatorname{sen}\big(50t+\tfrac{\pi}{2}\big) varia entre -1 e 1, segue que
-12 \le 12\cdot \operatorname{sen}\!\left(50t+\frac{\pi}{2}\right) \le 12.
Portanto o valor máximo possível de V(t) é 12 volts e o valor mínimo possível é -12 volts.

Passo 4

Comentário adicional (útil para a prova): a fase \tfrac{\pi}{2} apenas desloca a onda no tempo; não altera amplitude. Observação trigonométrica:
\operatorname{sen}\!\left(50t+\frac{\pi}{2}\right)=\cos(50t),
logo a função pode ser vista também como V(t)=12\cos(50t). Tanto fazendo assim quanto pela desigualdade do seno, o intervalo de valores permanece [-12,12].

Passo 5

Se quiser saber quando ocorrem máximos e mínimos (pra decorar/usar na prova): máximos ocorrem quando a seno vale 1, i.e. quando
50t+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}+2\pi k\quad\Rightarrow\quad 50t=2\pi k\quad\Rightarrow\quad t=\frac{\pi k}{25},
com k\in\mathbb{Z}. Mínimos ocorrem quando a seno vale -1, i.e. quando
50t+\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{2}+2\pi k\quad\Rightarrow\quad 50t=\pi+2\pi k\quad\Rightarrow\quad t=\frac{\pi(2k+1)}{50},
com k\in\mathbb{Z}. O período da onda é
T=\frac{2\pi}{50}=\frac{\pi}{25},
que coincide com a separação entre máximos sucessivos acima.

Resposta

V_{\max}=12\\ \text{V}
V_{\min}=-12\\ \text{V}

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