A tensão de um circuito elétrico pode ser descrita por uma senóide. Dada a tensão:
V(t)=12 \cdot \operatorname{sen}\left(50 \cdot t+\frac{\pi}{2}\right)
sendo V(t) em volts e t em segundos.
Determine o período § para se completar um ciclo.

Passo 1

O enunciado nos dá a tensão
V(t)=12\cdot\operatorname{sen}\!\left(50\cdot t+\frac{\pi}{2}\right),
com V(t) em volts e t em segundos. A pergunta é: determinar o período p necessário para a senóide completar um ciclo (ou seja, o menor intervalo de tempo positivo após o qual a função se repete).

Passo 2

Entendendo o que é período e por que vale T=\dfrac{2\pi}{\omega}.
  • Definição prática: o período T é o menor T>0 tal que V(t+T)=V(t) para todo t.
  • Para uma função do tipo \sin(\omega t+\varphi) a função repete sempre que o argumento interno aumenta de 2\pi, porque \sin(\theta+2\pi)=\sin(\theta) para todo \theta.
  • Assim, exigir \omega(t+T)+\varphi=\omega t+\varphi+2\pi (mudança mínima de 2\pi) leva a
\omega T = 2\pi.
  • Daí obtemos a fórmula clássica do período:
T=\frac{2\pi}{\omega}.
Aqui \omega é a frequência angular (em rad/s): é o número que multiplica t dentro do seno. A fase \varphi (aqui \tfrac{\pi}{2}) só desloca a curva no tempo, não altera o período.

Passo 3

Identificar a frequência angular \omega no enunciado.
  • Na expressão dada, o coeficiente do t dentro do seno é 50. Portanto
\omega = 50\\ \text{rad/s}.

Passo 4

Aplicar a fórmula do período usando \omega=50.
  • Substituindo em T=\dfrac{2\pi}{\omega}:
T=\frac{2\pi}{50}.
  • Simplificando a fração:
T=\frac{\pi}{25}.
Essa é a forma exata do período, em segundos.

Passo 5

Calcular uma aproximação numérica (útil na prova se pedirem valor em segundos):
  • Usando \pi\approx 3,14159265,
T=\frac{\pi}{25}\approx\frac{3,14159265}{25}\approx 0,125663706\\ \text{s}.
Arredondando razoavelmente, T\approx 0,12566\\ \text{s}.

Passo 6

Dica rápida para prova: se pedirem a frequência (em Hz), lembre que f=\dfrac{1}{T}=\dfrac{\omega}{2\pi}. Aqui f=\dfrac{50}{2\pi}\approx 7,9577\\ \text{Hz}. Vai ajudar a checar resultados.

Resposta

\displaystyle p=\frac{\pi}{25}\\ \text{s} \approx 0,12566\\ \text{s}

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