Um longo bastão cilíndrico de níquel, com diâmetro de 10 mm , é mantido na temperatura de 500 K . A emissividade do níquel pode ser calculada pela expressão:
, sendo
a temperatura em Kelvin. O bastão é envolvido concentricamente por um tubo (diâmetro interno de 25 mm ) e superfície com emissividade igual a 0,88 . A superfície interna do tubo é mantida na temperatura de 290 K . Determinar o fluxo de calor liberado pelo bastão de níquel.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de calor liberado por um bastão cilíndrico de níquel, mantido a
, colocado concêntricamente dentro de um tubo cujo diâmetro interno é
e cuja superfície interna permanece a
. A emissividade do níquel é dada por
(com
em Kelvin). A emissividade da superfície interna do tubo é
. O bastão tem diâmetro
.\n\nInformações relevantes (coloquei em forma direta):\n
(diâmetro do bastão)\n
(diâmetro interno do tubo)\n
(temperatura do bastão)\n
(temperatura da superfície interna do tubo)\n
do níquel dada por
\n
(tubo)\n\nO que é pedido: determinar o fluxo de calor liberado pelo bastão. Como o enunciado não dá comprimento do bastão, vou calcular o fluxo por unidade de comprimento (isto é,
fluxo linear
em
), que é a resposta usual em problemas de cilindros longos.
Passo 2
Conceitos e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática): radiação entre duas superfícies difusas e gray.\n\n- A lei de Stefan–Boltzmann para uma superfície negra diz que a emissão por área é
, onde
é a constante de Stefan–Boltzmann (
).\n\n- Para superfícies cinzentas (gray) com emissividades distintas e trocando radiação entre si, não basta usar
isoladamente porque cada superfície oferece resistência à emissão e à absorção. A troca radiativa entre duas superfícies difusas é tratada por uma analogia elétrica (resistências térmicas radiativas). A fórmula geral (para superfícies 1 e 2) é:\n
\n\nExplicando cada termo:\n-
e
são as áreas das superfícies que trocam radiação.\n-
é o fator de forma (view factor) da superfície 1 “do ponto de vista” da superfície 2; ele descreve a fração da radiação emitida por 1 que incide diretamente em 2.\n- O numerador é a diferença das potências emissas por área (via
).\n- No denominador temos três “resistências”: a resistência superficial da superfície 1, a resistência do campo entre as superfícies (
) e a resistência superficial da superfície 2. Essa expressão resulta de análise de balanços energéticos e propriedades de superfícies difusas.\n\nVou aplicar essa fórmula ao caso de cilindros concêntricos longos.
Passo 3
Aplicação ao caso de cilindros concêntricos longos e escolha das áreas e do fator de forma:\n\n- Para um cilindro interno longo concêntrico com um tubo externo que o envolve completamente, toda radiação emitida pela superfície lateral do cilindro interno atinge a superfície interna do tubo externo, ou seja, o fator de forma é
.\n\n- Como o comprimento
não foi dado, é conveniente trabalhar por unidade de comprimento. As áreas por unidade de comprimento (áreas laterais por metro de comprimento) são:\n
\nonde o apóstrofo indica “por unidade de comprimento” (m^2 por m = m).\n\nUsaremos a mesma fórmula but substituindo
por
e obteremos o fluxo por unidade de comprimento
.
Passo 4
Calcular a emissividade do níquel na temperatura
usando a expressão dada:\n
\n
Passo 5
Calcular as áreas por unidade de comprimento (peguei os diâmetros do enunciado):\n
\n
Passo 6
Calcular a diferença de quarta potência de temperatura (essa é a parte central da lei de Stefan–Boltzmann):\n
\n
\n
\nMultiplicando por
:\n
Passo 7
Calcular cada termo do denominador (resistências radiativas) usando
e
, e
:\n\nTermo 1 (resistência da superfície do bastão):\n
\n\nTermo 2 (resistência do espaço entre superfícies):\n
\n\nTermo 3 (resistência da superfície interna do tubo):\n
Passo 8
Somar as resistências do denominador e calcular o fluxo por unidade de comprimento
:\n
\n
\nArredondando de forma prática para duas casas decimais:
.
Passo 9
Interpretação final e observações (rápido incentivo): esse valor é o fluxo de calor perdido por unidade de comprimento do bastão por radiação para o tubo. Como o problema não deu comprimento, entregar por metro é o procedimento padrão — se você tiver um comprimento
, a perda total seria
. Tá ficando bom — respira fundo, com esse passo a passo você resolve qualquer problema semelhante trocando só os números!