Um longo bastão cilíndrico de níquel, com diâmetro de 10 mm , é mantido na temperatura de 500 K . A emissividade do níquel pode ser calculada pela expressão: \varepsilon=0,050+0,00010 T, sendo T a temperatura em Kelvin. O bastão é envolvido concentricamente por um tubo (diâmetro interno de 25 mm ) e superfície com emissividade igual a 0,88 . A superfície interna do tubo é mantida na temperatura de 290 K . Determinar o fluxo de calor liberado pelo bastão de níquel.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de calor liberado por um bastão cilíndrico de níquel, mantido a \,500\\ \mathrm{K}, colocado concêntricamente dentro de um tubo cujo diâmetro interno é \,25\\ \mathrm{mm} e cuja superfície interna permanece a \,290\\ \mathrm{K}. A emissividade do níquel é dada por \varepsilon=0{,}050+0{,}00010\,T (com T em Kelvin). A emissividade da superfície interna do tubo é \,0{,}88. O bastão tem diâmetro \,10\\ \mathrm{mm}.\n\nInformações relevantes (coloquei em forma direta):\n \,D_1=10\\ \mathrm{mm}=0{,}01\\ \mathrm{m} (diâmetro do bastão)\n \,D_2=25\\ \mathrm{mm}=0{,}025\\ \mathrm{m} (diâmetro interno do tubo)\n \,T_1=500\\ \mathrm{K} (temperatura do bastão)\n \,T_2=290\\ \mathrm{K} (temperatura da superfície interna do tubo)\n \,\varepsilon_1 do níquel dada por \varepsilon_1=0{,}050+0{,}00010\,T_1\n \,\varepsilon_2=0{,}88 (tubo)\n\nO que é pedido: determinar o fluxo de calor liberado pelo bastão. Como o enunciado não dá comprimento do bastão, vou calcular o fluxo por unidade de comprimento (isto é, fluxo linear \,q' em \mathrm{W/m}), que é a resposta usual em problemas de cilindros longos.

Passo 2

Conceitos e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática): radiação entre duas superfícies difusas e gray.\n\n- A lei de Stefan–Boltzmann para uma superfície negra diz que a emissão por área é \,j^\star=\sigma T^4, onde \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann ( \sigma\approx 5{,}670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}).\n\n- Para superfícies cinzentas (gray) com emissividades distintas e trocando radiação entre si, não basta usar \varepsilon\sigma A(T_1^4-T_2^4) isoladamente porque cada superfície oferece resistência à emissão e à absorção. A troca radiativa entre duas superfícies difusas é tratada por uma analogia elétrica (resistências térmicas radiativas). A fórmula geral (para superfícies 1 e 2) é:\n Q=\frac{\sigma\,(T_1^4-T_2^4)}{\dfrac{1-\varepsilon_1}{\varepsilon_1 A_1}+\dfrac{1}{A_1 F_{12}}+\dfrac{1-\varepsilon_2}{\varepsilon_2 A_2}}\n\nExplicando cada termo:\n- \,A_1 e \,A_2 são as áreas das superfícies que trocam radiação.\n- \,F_{12} é o fator de forma (view factor) da superfície 1 “do ponto de vista” da superfície 2; ele descreve a fração da radiação emitida por 1 que incide diretamente em 2.\n- O numerador é a diferença das potências emis­sas por área (via \sigma T^4).\n- No denominador temos três “resistências”: a resistência superficial da superfície 1, a resistência do campo entre as superfícies ( 1/(A_1F_{12})) e a resistência superficial da superfície 2. Essa expressão resulta de análise de balanços energéticos e propriedades de superfícies difusas.\n\nVou aplicar essa fórmula ao caso de cilindros concêntricos longos.

Passo 3

Aplicação ao caso de cilindros concêntricos longos e escolha das áreas e do fator de forma:\n\n- Para um cilindro interno longo concêntrico com um tubo externo que o envolve completamente, toda radiação emitida pela superfície lateral do cilindro interno atinge a superfície interna do tubo externo, ou seja, o fator de forma é \,F_{12}=1.\n\n- Como o comprimento L não foi dado, é conveniente trabalhar por unidade de comprimento. As áreas por unidade de comprimento (áreas laterais por metro de comprimento) são:\n A_1'=\pi D_1,\qquad A_2'=\pi D_2\nonde o apóstrofo indica “por unidade de comprimento” (m^2 por m = m).\n\nUsaremos a mesma fórmula but substituindo A_1,A_2 por A_1',A_2' e obteremos o fluxo por unidade de comprimento q'=Q/L.

Passo 4

Calcular a emissividade do níquel na temperatura \,T_1=500\\ \mathrm{K} usando a expressão dada:\n \varepsilon_1=0{,}050+0{,}00010\,T_1=0{,}050+0{,}00010\times500\n \varepsilon_1=0{,}050+0{,}050=0{,}100.

Passo 5

Calcular as áreas por unidade de comprimento (peguei os diâmetros do enunciado):\n A_1'=\pi D_1=\pi(0{,}01)=0{,}01\pi\\ \mathrm{m^2/m}\approx0{,}0314159\\ \mathrm{m^2/m}\n A_2'=\pi D_2=\pi(0{,}025)=0{,}025\pi\\ \mathrm{m^2/m}\approx0{,}0785398\\ \mathrm{m^2/m}

Passo 6

Calcular a diferença de quarta potência de temperatura (essa é a parte central da lei de Stefan–Boltzmann):\n T_1^4=500^4=62\,500\,000\,000=6{,}25\times10^{10}\\ \mathrm{K^4}\n T_2^4=290^4=7\,072\,810\,000\approx7{,}07281\times10^{9}\\ \mathrm{K^4}\n T_1^4-T_2^4=62\,500\,000\,000-7\,072\,810\,000=55\,427\,190\,000\approx5{,}542719\times10^{10}\\ \mathrm{K^4}\nMultiplicando por \sigma:\n \sigma\,(T_1^4-T_2^4)=5{,}670374419\times10^{-8}\times5{,}542719\times10^{10}\approx3{,}142{,}93\times10^{3}\\ \mathrm{W/m^2}.

Passo 7

Calcular cada termo do denominador (resistências radiativas) usando \varepsilon_1=0{,}100 e \varepsilon_2=0{,}88, e F_{12}=1:\n\nTermo 1 (resistência da superfície do bastão):\n \frac{1-\varepsilon_1}{\varepsilon_1 A_1'}=\frac{1-0{,}100}{0{,}100\cdot(0{,}01\pi)}=\frac{0{,}900}{0{,}001\pi}\approx\frac{0{,}900}{0{,}003141593}\approx286{,}4789\\ \mathrm{m^{-1}}\n\nTermo 2 (resistência do espaço entre superfícies):\n \frac{1}{A_1'F_{12}}=\frac{1}{A_1'}=\frac{1}{0{,}01\pi}\approx31{,}8309886\\ \mathrm{m^{-1}}\n\nTermo 3 (resistência da superfície interna do tubo):\n \frac{1-\varepsilon_2}{\varepsilon_2 A_2'}=\frac{1-0{,}88}{0{,}88\cdot(0{,}025\pi)}=\frac{0{,}12}{0{,}022\pi}\approx\frac{0{,}12}{0{,}0690750}\approx1{,}73709\\ \mathrm{m^{-1}}

Passo 8

Somar as resistências do denominador e calcular o fluxo por unidade de comprimento q':\n \text{denominador}=286{,}4789+31{,}8309886+1{,}73709\approx320{,}04698\\ \mathrm{m^{-1}}\n q'=\frac{\sigma\,(T_1^4-T_2^4)}{\text{denominador}}\approx\frac{3142{,}93\\ \mathrm{W/m^2}}{320{,}04698\\ \mathrm{m^{-1}}}\approx9{,}817\\ \mathrm{W/m}\nArredondando de forma prática para duas casas decimais: q'\approx9{,}82\\ \mathrm{W/m}.

Passo 9

Interpretação final e observações (rápido incentivo): esse valor é o fluxo de calor perdido por unidade de comprimento do bastão por radiação para o tubo. Como o problema não deu comprimento, entregar por metro é o procedimento padrão — se você tiver um comprimento L, a perda total seria Q=q'\,L. Tá ficando bom — respira fundo, com esse passo a passo você resolve qualquer problema semelhante trocando só os números!

Resposta

\,9{,}82\\ \mathrm{W/m}

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