Uma caixa (dimensões internas de
e 30 cm ) foi construída para manter a temperatura do ar interno em
. As paredes da caixa foram construídas com tijolos (
), com 30 cm de espessura. Os coeficientes de transferência de calor por convecção interno e externo são, respectivamente, iguais a
e
. Para que a temperatura do ar no interior da caixa seja mantida constante, instalou-se um aquecedor elétrico no interior da caixa que dissipa uma potência igual a taxa de transferência de calor do ar confinado para o ar externo. Sabendo-se que a temperatura do ar externo é
, determinar a potência do aquecedor.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar a potência do aquecedor (isto é, a taxa de calor que deve ser fornecida) para manter a temperatura interna constante em
quando a temperatura externa é
.
Informações fornecidas (vou listar todas, cada número em TeX):
- Dimensões internas da caixa:
, e (converti para metros). - Espessura das paredes (tijolo):
. - Condutividade térmica do tijolo:
. - Coeficiente de convecção interno:
. - Coeficiente de convecção externo:
. - Temperatura interna do ar:
. - Temperatura externa do ar:
.
Observação importante: a caixa é um paralelepípedo com 6 faces; o calor sai por todas as faces. As propriedades do material e as condições de convecção são as mesmas em todas as faces, portanto o mesmo procedimento vale para cada face.
Passo 2
Estratégia (explicada de forma didática): cada face da caixa fornece um caminho de perda de calor do ar interno para o ar externo. Para uma face consideramos três resistências térmicas em série:
- resistência por convecção do ar interno até a superfície interna da parede;
- resistência por condução através do tijolo;
- resistência por convecção do lado externo da parede para o ar exterior.
Para uma área
de parede essas resistências são dadas por fórmulas simples (vou explicar no passo seguinte). A resistência equivalente de uma face é a soma dessas três resistências; a transferência de calor por essa face é
dividida por essa resistência. Como todas as faces têm a mesma construção, podemos calcular o coeficiente global de transmissão de calor por unidade de área
e então usar
onde
é a soma das áreas das 6 faces.
Passo 3
Fórmulas das resistências (aula curta):
- Resistência por convecção numa superfície de área
com coeficiente :
Explicação:
mede quão eficiente é a troca convectiva; quanto maior
, menor a resistência. Unidade:
.
- Resistência por condução através de um material de espessura
, condutividade e área :
Explicação: espessuras maiores aumentam resistência, condutividade maior diminui resistência.
Para uma face a resistência total é
Definimos o coeficiente global por área
Então a taxa de calor por unidade de área é
e total
.
Passo 4
Cálculo das áreas das faces e da área total (vou mostrar todas as contas passo a passo).
As dimensões internas:
,
,
.
Áreas das três pares de faces:
Área total (6 faces):
Passo 5
Cálculo numérico das resistências (vou calcular a soma dentro do parêntese que aparece na definição de
).
Calculemos os termos separados (todos sem dividir por
, pois
já é por unidade de área):
Somando:
Podemos escrever isso exatamente como fração comum:
,
,
. A soma é
Passo 6
Cálculo do coeficiente global
:
Agora calculamos
:
Fazendo a conta:
, então
(Observe que esse resultado é exato dentro das frações usadas.)
Passo 7
Finalmente, a potência requerida (taxa de calor) é
A diferença de temperatura é
Logo
Interpretação: o aquecedor precisa fornecer
em regime estacionário para compensar as perdas e manter
dentro da caixa quando fora está
.