Uma caixa (dimensões internas de 100 \mathrm{~cm}, 40 \mathrm{~cm} e 30 cm ) foi construída para manter a temperatura do ar interno em 50^{\circ} \mathrm{C}. As paredes da caixa foram construídas com tijolos ( k=0,72 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} ), com 30 cm de espessura. Os coeficientes de transferência de calor por convecção interno e externo são, respectivamente, iguais a 5 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} e 15 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. Para que a temperatura do ar no interior da caixa seja mantida constante, instalou-se um aquecedor elétrico no interior da caixa que dissipa uma potência igual a taxa de transferência de calor do ar confinado para o ar externo. Sabendo-se que a temperatura do ar externo é 10^{\circ} \mathrm{C}, determinar a potência do aquecedor.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a potência do aquecedor (isto é, a taxa de calor que deve ser fornecida) para manter a temperatura interna constante em 50^\circ\mathrm{C} quando a temperatura externa é 10^\circ\mathrm{C}.
Informações fornecidas (vou listar todas, cada número em TeX):
  • Dimensões internas da caixa: 1{,}00\\ \mathrm{m}, 0{,}40\\ \mathrm{m} e 0{,}30\\ \mathrm{m} (converti 100\\ \mathrm{cm}, 40\\ \mathrm{cm}, 30\\ \mathrm{cm} para metros).
  • Espessura das paredes (tijolo): L=0{,}30\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica do tijolo: k=0{,}72\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Coeficiente de convecção interno: h_i=5\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
  • Coeficiente de convecção externo: h_o=15\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
  • Temperatura interna do ar: T_i=50^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura externa do ar: T_o=10^\circ\mathrm{C}.
Observação importante: a caixa é um paralelepípedo com 6 faces; o calor sai por todas as faces. As propriedades do material e as condições de convecção são as mesmas em todas as faces, portanto o mesmo procedimento vale para cada face.

Passo 2

Estratégia (explicada de forma didática): cada face da caixa fornece um caminho de perda de calor do ar interno para o ar externo. Para uma face consideramos três resistências térmicas em série:
  1. resistência por convecção do ar interno até a superfície interna da parede;
  2. resistência por condução através do tijolo;
  3. resistência por convecção do lado externo da parede para o ar exterior.
Para uma área A de parede essas resistências são dadas por fórmulas simples (vou explicar no passo seguinte). A resistência equivalente de uma face é a soma dessas três resistências; a transferência de calor por essa face é (T_i-T_o) dividida por essa resistência. Como todas as faces têm a mesma construção, podemos calcular o coeficiente global de transmissão de calor por unidade de área U e então usar
\dot{Q} = U \, A_{\text{total}} \, (T_i-T_o),
onde A_{\text{total}} é a soma das áreas das 6 faces.

Passo 3

Fórmulas das resistências (aula curta):
  • Resistência por convecção numa superfície de área A com coeficiente h:
R_{\text{conv}}=\frac{1}{hA}.
Explicação: h mede quão eficiente é a troca convectiva; quanto maior h, menor a resistência. Unidade: \mathrm{m^2K/W}.
  • Resistência por condução através de um material de espessura L, condutividade k e área A:
R_{\text{cond}}=\frac{L}{kA}.
Explicação: espessuras maiores aumentam resistência, condutividade maior diminui resistência.
Para uma face a resistência total é
R_{\text{face}}=\frac{1}{h_i A} + \frac{L}{k A} + \frac{1}{h_o A} = \frac{1}{A}\Big(\frac{1}{h_i}+\frac{L}{k}+\frac{1}{h_o}\Big).
Definimos o coeficiente global por área
U=\frac{1}{\dfrac{1}{h_i}+\dfrac{L}{k}+\dfrac{1}{h_o}}.
Então a taxa de calor por unidade de área é q''=U\,(T_i-T_o) e total \dot{Q}=q''A_{\text{total}}.

Passo 4

Cálculo das áreas das faces e da área total (vou mostrar todas as contas passo a passo).
As dimensões internas: a=1{,}00\\ \mathrm{m}, b=0{,}40\\ \mathrm{m}, c=0{,}30\\ \mathrm{m}.
Áreas das três pares de faces:
A_1 = a\cdot b = 1{,}00\times 0{,}40 = 0{,}40\\ \mathrm{m^2}\quad(\text{duas faces}),
A_2 = a\cdot c = 1{,}00\times 0{,}30 = 0{,}30\\ \mathrm{m^2}\quad(\text{duas faces}),
A_3 = b\cdot c = 0{,}40\times 0{,}30 = 0{,}12\\ \mathrm{m^2}\quad(\text{duas faces}).
Área total (6 faces):
A_{\text{total}} = 2(A_1+A_2+A_3) = 2(0{,}40+0{,}30+0{,}12) = 2(0{,}82) = 1{,}64\\ \mathrm{m^2}.

Passo 5

Cálculo numérico das resistências (vou calcular a soma dentro do parêntese que aparece na definição de U).
Calculemos os termos separados (todos sem dividir por A, pois U já é por unidade de área):
\frac{1}{h_i} = \frac{1}{5} = 0{,}2\\ \mathrm{m^2K/W},
\frac{L}{k} = \frac{0{,}30}{0{,}72} = \frac{30}{72} = \frac{5}{12} \approx 0{,}4166667\\ \mathrm{m^2K/W},
\frac{1}{h_o} = \frac{1}{15} \approx 0{,}0666667\\ \mathrm{m^2K/W}.
Somando:
\frac{1}{h_i}+\frac{L}{k}+\frac{1}{h_o} = 0{,}2 + 0{,}4166667 + 0{,}0666667 = 0{,}6833334\\ \mathrm{m^2K/W}.
Podemos escrever isso exatamente como fração comum: 0{,}2 = \tfrac{1}{5}, 0{,}416\dots=\tfrac{5}{12}, 0{,}06666\dots=\tfrac{1}{15}. A soma é
\frac{1}{5}+\frac{5}{12}+\frac{1}{15}=\frac{12+25+4}{60}=\frac{41}{60}\\ \mathrm{m^2K/W}.

Passo 6

Cálculo do coeficiente global U:
U=\frac{1}{\dfrac{41}{60}}=\frac{60}{41}\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)} \approx 1{,}4634146\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Agora calculamos U\cdot A_{\text{total}}:
U\,A_{\text{total}} = \frac{60}{41}\times 1{,}64.
Fazendo a conta: 60\times 1{,}64 = 98{,}4, então
U\,A_{\text{total}} = \frac{98{,}4}{41} = 2{,}4\\ \mathrm{W/K}.
(Observe que esse resultado é exato dentro das frações usadas.)

Passo 7

Finalmente, a potência requerida (taxa de calor) é
\dot{Q} = U\,A_{\text{total}}\,(T_i-T_o).
A diferença de temperatura é
T_i-T_o = 50^\circ\mathrm{C}-10^\circ\mathrm{C} = 40\\ \mathrm{K}.
Logo
\dot{Q} = 2{,}4\\ \mathrm{W/K}\times 40\\ \mathrm{K} = 96\\ \mathrm{W}.
Interpretação: o aquecedor precisa fornecer 96\\ \mathrm{W} em regime estacionário para compensar as perdas e manter 50^\circ\mathrm{C} dentro da caixa quando fora está 10^\circ\mathrm{C}.

Resposta

96\\ \mathrm{W}

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