Uma parede plana com espessura de 50 cm , foi construída com material à prova de fogo com condutividade térmica que varia com a temperatura. Para a temperatura \theta, em graus Celsius, entre 0^{\circ} e 800^{\circ}, a condutividade térmica ( \mathrm{W} /(\mathrm{mK}) ), pode ser
estimada com a seguinte expressão: k(\theta)=0,237 /(1-0,00041 \theta). Considerando-se que as temperaturas das superfícies das paredes são iguais a 720^{\circ} \mathrm{C} e 130^{\circ} \mathrm{C}, calcular a taxa de transferência de calor por unidade de área, que atravessa a parede.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a taxa de transferência de calor por unidade de área (fluxo de calor superficial) que atravessa uma parede plana de espessura 50\\ \mathrm{cm}, cuja condutividade térmica depende da temperatura segundo a lei dada, quando as temperaturas das superfícies são 720^\circ\mathrm{C} e 130^\circ\mathrm{C}.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicando cada item):
\text{Espessura: } L = 50\\ \mathrm{cm} = 0{,}50\\ \mathrm{m}.
\text{Condutividade térmica: } k(\theta) = \frac{0{,}237}{1-0{,}00041\,\theta}\quad\left(\mathrm{W/(m\cdot K)}\right),é
onde \theta é a temperatura em graus Celsius no intervalo 0^\circ a 800^\circ.
\text{Temperaturas das superfícies: } \theta_{1}=720^\circ\mathrm{C}\\ (\text{lado quente}),\quad \theta_{2}=130^\circ\mathrm{C}\\ (\text{lado frio}).í
O que queremos: a taxa de transferência de calor por unidade de área, isto é o fluxo de calor superficial uniforme q'' (unidade \mathrm{W/m^2}), que atravessa a parede em regime permanente.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicando como se chega nela, devagarzinho):
Em condução unidimensional e regime estacionário, a lei de Fourier diz localmente:
q''(x) = -k(\theta)\,\frac{d\theta}{dx},
onde q'' é o fluxo de calor (positivo no sentido do fluxo) e \theta(x) é a temperatura no ponto x. Se k depende da temperatura, não é válido usar simplesmente q''=k\,(\Delta \theta)/L. Em vez disso, isolamos dx e integramos:
Rearranjando:
\frac{d\theta}{dx} = -\frac{q''}{k(\theta)} \quad\Rightarrow\quad dx = -\frac{k(\theta)}{q''}\,d\theta.
Agora integramos x de 0 até L e \theta de \theta_{1} até \theta_{2}. Fazendo a integral obtemos:
\int_{0}^{L} dx = -\frac{1}{q''}\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}} k(\theta)\,d\theta.
O lado esquerdo dá L, então:
L = -\frac{1}{q''}\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}} k(\theta)\,d\theta.
Isolando q'':
q'' = -\frac{1}{L}\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}} k(\theta)\,d\theta.
Como \theta_{1}>\theta_{2}, a integral \int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}} k(\theta)\,d\theta é negativa, resultando em q''>0. Para escrever de forma prática, podemos trocar os limites:
q''=\frac{1}{L}\int_{\theta_{2}}^{\theta_{1}} k(\theta)\,d\theta.
Essa é a expressão que vamos avaliar.

Passo 3

Substituímos a expressão de k(\theta) na integral. Lembrando:
k(\theta)=\frac{0{,}237}{1-0{,}00041\,\theta}.
Portanto:
q''=\frac{1}{L}\int_{\theta_{2}}^{\theta_{1}}\frac{0{,}237}{1-0{,}00041\,\theta}\,d\theta.
Definimos uma constante para tornar a notação mais limpa:
a = 0{,}00041.
Então a integral é
q''=\frac{0{,}237}{L}\int_{130}^{720}\frac{1}{1-a\theta}\,d\theta.

Passo 4

Vamos calcular a integral. É uma integral do tipo \int \frac{1}{1-a\theta}\,d\theta. Usamos substituição simples:
u = 1-a\theta \quad\Rightarrow\quad du = -a\,d\theta \quad\Rightarrow\quad d\theta = -\frac{1}{a}\,du.
Então a primitiva é
\int \frac{1}{1-a\theta}\,d\theta = -\frac{1}{a}\ln|1-a\theta| + C.
Logo a integral definida fica:
\int_{130}^{720}\frac{1}{1-a\theta}\,d\theta = -\frac{1}{a}\left[\ln(1-a\theta)\right]_{130}^{720}.

Passo 5

Avaliar o valor da integral definida:
\int_{130}^{720}\frac{1}{1-a\theta}\,d\theta = -\frac{1}{a}\Big(\ln(1-a\cdot 720)-\ln(1-a\cdot 130)\Big).
Com a propriedade dos logaritmos isso é
= -\frac{1}{a}\ln\!\left(\frac{1-a\cdot 720}{1-a\cdot 130}\right) = \frac{1}{a}\ln\!\left(\frac{1-a\cdot 130}{1-a\cdot 720}\right).

Passo 6

Agora substituímos de volta em q'':
q''=\frac{0{,}237}{L}\cdot\frac{1}{a}\ln\!\left(\frac{1-a\cdot 130}{1-a\cdot 720}\right).
Agrupando constantes:
q''=\frac{0{,}237}{a\,L}\,\ln\!\left(\frac{1-a\cdot 130}{1-a\cdot 720}\right).
Vamos calcular numericamente passo a passo (vou mostrar cada conta para você poder reproduzir sem calculadora, aproximando quando necessário):
Valores numéricos:
a = 0{,}00041,\qquad L=0{,}50\\ \mathrm{m}.
Calcule 1-a\cdot 130 e 1-a\cdot 720:
1-a\cdot 130 = 1 - 0{,}00041\times 130 = 1 - 0{,}0533 = 0{,}9467.
1-a\cdot 720 = 1 - 0{,}00041\times 720 = 1 - 0{,}2952 = 0{,}7048.
Razão dentro do logaritmo:
\frac{1-a\cdot 130}{1-a\cdot 720} = \frac{0{,}9467}{0{,}7048}\approx 1{,}3429\quad(\text{aproximado}).
Agora o logaritmo natural:
\ln\!\left(1{,}3429\right)\approx 0{,}2948\quad(\text{aproximação aceitável}).çãá

Passo 7

Calcule o fator multiplicativo \dfrac{0{,}237}{a\,L}:
a\,L = 0{,}00041\times 0{,}50 = 0{,}000205.
\frac{0{,}237}{a\,L} = \frac{0{,}237}{0{,}000205}\approx 1156{,}0976.

Passo 8

Multiplicamos esse fator pelo logaritmo:
q'' \approx 1156{,}0976 \times 0{,}2948 \approx 340{,}8\\ \mathrm{W/m^{2}}.

Passo 9

Interpretação e sinal: obtivemos q''\approx 340{,}8\\ \mathrm{W/m^{2}}. Isso é a magnitude do fluxo de calor que atravessa a parede do lado a 720^\circ\mathrm{C} para o lado a 130^\circ\mathrm{C}. Pelo nosso procedimento o valor ficou positivo, significando fluxo do quente para o frio, como esperado.

Resposta

q''\approx 340{,}8\\ \mathrm{W/m^{2}}

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