Uma parede plana com espessura de 50 cm , foi construída com material à prova de fogo com condutividade térmica que varia com a temperatura. Para a temperatura
, em graus Celsius, entre
e
, a condutividade térmica (
), pode ser
estimada com a seguinte expressão:
. Considerando-se que as temperaturas das superfícies das paredes são iguais a
e
, calcular a taxa de transferência de calor por unidade de área, que atravessa a parede.
estimada com a seguinte expressão:
Passo 1
O enunciado pede: calcular a taxa de transferência de calor por unidade de área (fluxo de calor superficial) que atravessa uma parede plana de espessura
, cuja condutividade térmica depende da temperatura segundo a lei dada, quando as temperaturas das superfícies são
e
.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicando cada item):
onde
é a temperatura em graus Celsius no intervalo
a
.
O que queremos: a taxa de transferência de calor por unidade de área, isto é o fluxo de calor superficial uniforme
(unidade
), que atravessa a parede em regime permanente.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicando como se chega nela, devagarzinho):
Em condução unidimensional e regime estacionário, a lei de Fourier diz localmente:
onde
é o fluxo de calor (positivo no sentido do fluxo) e
é a temperatura no ponto
. Se
depende da temperatura, não é válido usar simplesmente
. Em vez disso, isolamos
e integramos:
Rearranjando:
Agora integramos
de
até
e
de
até
. Fazendo a integral obtemos:
O lado esquerdo dá
, então:
Isolando
:
Como
, a integral
é negativa, resultando em
. Para escrever de forma prática, podemos trocar os limites:
Essa é a expressão que vamos avaliar.
Passo 3
Substituímos a expressão de
na integral. Lembrando:
Portanto:
Definimos uma constante para tornar a notação mais limpa:
Então a integral é
Passo 4
Vamos calcular a integral. É uma integral do tipo
. Usamos substituição simples:
Então a primitiva é
Logo a integral definida fica:
Passo 5
Avaliar o valor da integral definida:
Com a propriedade dos logaritmos isso é
Passo 6
Agora substituímos de volta em
:
Agrupando constantes:
Vamos calcular numericamente passo a passo (vou mostrar cada conta para você poder reproduzir sem calculadora, aproximando quando necessário):
Valores numéricos:
Calcule
e
:
Razão dentro do logaritmo:
Agora o logaritmo natural:
Passo 7
Calcule o fator multiplicativo
:
Passo 8
Multiplicamos esse fator pelo logaritmo:
Passo 9
Interpretação e sinal: obtivemos
. Isso é a magnitude do fluxo de calor que atravessa a parede do lado a
para o lado a
. Pelo nosso procedimento o valor ficou positivo, significando fluxo do quente para o frio, como esperado.