-9 O módulo da densidade de corrente em um fio circular com 3,00 \mathrm{~mm} de raio é dado por J=(2,75 \left.\times 10^{10} \mathrm{~A} / \mathrm{m}^{4}\right) r^{2}, em que r é a distância radial. O potencial aplicado às extremidades do fio é 60,0 \mathrm{~V}. Qual é a energia convertida em energia térmica em 1,00 \mathrm{~h} ?

Passo 1

O enunciado dá o módulo da densidade de corrente em um fio de seção circular como
J(r)=\left(2,75\times 10^{10}\\ \mathrm{A/m^{4}}\right)\,r^{2},
onde r é a distância radial medida a partir do centro da seção. O fio tem raio 3,00\\ \mathrm{mm} e às extremidades do fio é aplicada uma diferença de potencial de 60,0\\ \mathrm{V}. Pede-se a energia convertida em calor em 1,00\\ \mathrm{h}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\begin{aligned} &J(r)=2,75\times 10^{10}\,r^{2}\quad(\mathrm{A/m^{2}}),\\\ &R=3,00\\ \mathrm{mm}=3,00\times 10^{-3}\\ \mathrm{m},\\\ &V=60,0\\ \mathrm{V},\\\ &t=1,00\\ \mathrm{h}=3600\\ \mathrm{s}. \end{aligned}

Passo 2

Entendimento do que fazer (sem ainda calcular): para obter a energia dissipada em calor precisamos da potência dissipada e então multiplicar pelo tempo. A potência dissipada em um condutor ôhmico com diferença de potencial V nas extremidades é
P=V\cdot I,
onde I é a corrente total que atravessa a seção do fio. Portanto primeiro calculamos a corrente total a partir da densidade de corrente J(r) integrada sobre a área da seção transversal.

Passo 3

Fórmula para obter a corrente total a partir de J(r):
Em coordenadas polares, um elemento de área é dA=2\pi r\,dr (na verdade dA=r\,d\theta\,dr e integrando \theta de 0 a 2\pi 2\pi r\,dr). A corrente total é
I=\int_{A} J(r)\,dA=\int_{0}^{R} J(r)\,2\pi r\,dr.
Substituindo J(r)=2,75\times 10^{10}\,r^{2} obtemos:
I= \int_{0}^{R} \left(2,75\times 10^{10}\,r^{2}\right)\,2\pi r\,dr =2\pi\left(2,75\times 10^{10}\right)\int_{0}^{R} r^{3}\,dr.

Passo 4

Calcule a integral \int_{0}^{R} r^{3}\,dr:
\int_{0}^{R} r^{3}\,dr=\left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{R}=\frac{R^{4}}{4}.
Portanto
I=2\pi\left(2,75\times 10^{10}\right)\frac{R^{4}}{4} =\frac{\pi\left(2,75\times 10^{10}\right)}{2}\,R^{4}.
Agora calculamos R^{4}. Como R=3,00\times 10^{-3}\\ \mathrm{m},
R^{4}=(3,00\times 10^{-3})^{4}=3,00^{4}\times 10^{-12}=81,0\times 10^{-12}=8,10\times 10^{-11}\\ \mathrm{m^{4}}.

Passo 5

Substituindo números:
I=\frac{\pi\left(2,75\times 10^{10}\right)}{2}\left(8,10\times 10^{-11}\right).
Calcule o coeficiente numérico passo a passo:
\frac{2,75\times 10^{10}}{2}=1,375\times 10^{10},
então
I=\left(1,375\times 10^{10}\right)\pi\left(8,10\times 10^{-11}\right).
Multiplicando as potências de dez:
1,375\times 10^{10}\times 8,10\times 10^{-11}= (1,375\times 8,10)\times 10^{-1}=11,1375\times 10^{-1}=1,11375.
Agora multiplicamos por \pi:
I\approx 1,11375\pi\\ \mathrm{A}\approx 3,503\\ \mathrm{A}.
Arredondando com base nas cifras significativas dos dados, podemos tomar I\approx 3,50\\ \mathrm{A}.

Passo 6

Calcule a potência dissipada:
P=V\cdot I=60,0\\ \mathrm{V}\times 3,503\\ \mathrm{A}=210,2\\ \mathrm{W}.
Arredondando: P\approx 210\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Energia dissipada em t=1,00\\ \mathrm{h}=3600\\ \mathrm{s}:
E=P\cdot t=210,2\\ \mathrm{W}\times 3600\\ \mathrm{s}=756720\\ \mathrm{J}.
Arredondando de acordo com as cifras significativas (três algarismos significativos), obtemos
E\approx 7,57\times 10^{5}\\ \mathrm{J}.
Opcionalmente, em unidades de energia elétrica usuais,
E=210,2\\ \mathrm{W}\times 1,00\\ \mathrm{h}=0,2102\\ \mathrm{kWh}\approx 0,210\\ \mathrm{kWh}.

Resposta

7,57\times 10^{5}\\ \mathrm{J}

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