-9 O módulo da densidade de corrente em um fio circular com 3,00 \mathrm{~mm} de raio é dado por J=(2,75 \left.\times 10^{10} \mathrm{~A} / \mathrm{m}^{4}\right) r^{2}, em que r é a distância radial. O potencial aplicado às extremidades do fio é 60,0 \mathrm{~V}. Qual é a energia convertida em energia térmica em 1,00 \mathrm{~h} ?
Passo 1
O enunciado dá o módulo da densidade de corrente em um fio de seção circular como
onde r é a distância radial medida a partir do centro da seção. O fio tem raio 3,00\\ \mathrm{mm} e às extremidades do fio é aplicada uma diferença de potencial de 60,0\\ \mathrm{V}. Pede-se a energia convertida em calor em 1,00\\ \mathrm{h}.
Entendimento do que fazer (sem ainda calcular): para obter a energia dissipada em calor precisamos da potência dissipada e então multiplicar pelo tempo. A potência dissipada em um condutor ôhmico com diferença de potencial V nas extremidades é
P=V\cdot I,
onde I é a corrente total que atravessa a seção do fio. Portanto primeiro calculamos a corrente total a partir da densidade de corrente J(r) integrada sobre a área da seção transversal.
Passo 3
Fórmula para obter a corrente total a partir de J(r):
Em coordenadas polares, um elemento de área é dA=2\pi r\,dr (na verdade dA=r\,d\theta\,dr e integrando \theta de 0 a 2\pi dá 2\pi r\,dr). A corrente total é