Um longo cilindro condutor de raio a, possuindo carga lambda por unidade de comprimento, está imerso num meio dielétrico de permissividade constante varepsilon. Encontre o campo elétrico a uma distância r > a do eixo do cilindro.

Passo 1

O enunciado dá um cilindro condutor infinito de raio a com densidade de carga linear lambda, imerso em um dielétrico de permissividade varepsilon. Queremos o campo elétrico E(r) para r>a. O conteúdo principal é a aplicação da lei de Gauss num meio homogêneo linear, usando o deslocamento elétrico D e depois E=D/varepsilon.

Passo 2

Escolhemos uma superfície de Gauss cilíndrica coaxial ao condutor, de raio genérico r (com r>a) e comprimento L. Por simetria, D será radial e de módulo constante sobre essa superfície.

Passo 3

Aplicamos a lei de Gauss para o vetor deslocamento:
ointSDcdot dA=Qlivre,,enc
A superfície tem área lateral 2pi rL e o único carregamento livre dentro é Qlivre,,enc=lambda,L. Logo,
D(r),2pi rL=lambda,L

Passo 4

Cancelando L e isolando D(r) obtemos
D(r)=lambda2pi r
Como em um dielétrico linear vale D=varepsilon,E, temos
E(r)=D(r)varepsilon =lambda2pivarepsilon,r

Resposta

boxedE(r)=lambda2pivarepsilon,r,hat er, r>a

Exercícios relacionados