Um longo cilindro oco é constituído de um material com condutividade térmica
e, diâmetros interno e externo 125 mm e 250 mm , respectivamente. Em condições de regime estacionário, a temperatura no interior do cilindro é
e a temperatura na superfície externa de
. Determine:
a) a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento;
b) a temperatura do ar externo em torno do cilindro se o coeficiente de transferência de calor sobre sua superficie externa é
.
a) a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento;
b) a temperatura do ar externo em torno do cilindro se o coeficiente de transferência de calor sobre sua superficie externa é
Passo 1
Vamos organizar direitinho o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados fornecidos:
- condutividade térmica:
. - diâmetro interno:
→ raio interno . - diâmetro externo:
→ raio externo . - temperatura na superfície interna:
. - temperatura na superfície externa:
. - coeficiente de convecção externo (para a parte b):
.
Perguntas:
(a) Determinar a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento do cilindro (isto é, em
).
(b) Determinar a temperatura do ar externo em redor do cilindro, supondo que o coeficiente de transferência por convecção sobre a superfície externa é
.
(a) Determinar a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento do cilindro (isto é,
(b) Determinar a temperatura do ar externo
Passo 2
Relembrando a lei física que vamos usar (passo-a-passo e com intuição):
- Em regime estacionário, sem geração interna e com simetria cilíndrica, o fluxo de calor radial por unidade de comprimento é constante e dado por uma versão de Fourier em coordenadas cilíndricas.
- Considere uma casca cilíndrica de raio
e comprimento . A área de transferência radial através dessa casca é . - A lei de condução radial (forma diferencial) é
Aqui
é a potência (em W) que atravessa a superfície cilíndrica de raio
. Para trabalhar por unidade de comprimento, definimos
(W/m), que é constante com
.
Passo 3
Obter a expressão analítica relacionando
e as temperaturas:
- Dividindo a equação diferencial por
e isolando as variáveis,
- Reorganizando e integrando entre
e (correspondente a e ):
Integramos:
- A integral dá:
Multiplicando por
e isolando
,
Comentário didático: essa fórmula pode ser vista como análoga a uma “resistência térmica” radial, onde a resistência por unidade de comprimento é
, e
.
Passo 4
Calcular numericamente
(parte a):
- Primeiro calcule a razão de raios:
- Logo
- Substituindo na fórmula:
- Calcule passo a passo:
Portanto a taxa de calor por unidade de comprimento é aproximadamente
.
Passo 5
Agora a parte (b): relação com convecção no exterior e determinação de
.
- A potência
que sai pela parede externa é removida por convecção do ar. A lei de convecção na superfície externa (por unidade de comprimento) é
onde a área externa por unidade de comprimento é
.
- Isolando
,
Comentário didático: isso é direto da lei de resfriamento de Newton: o fluxo convectivo é proporcional à diferença de temperatura entre a superfície e o fluido. Aqui usamos a área real da superfície cilíndrica.
Passo 6
Calcular numericamente
:
- Primeiro calcule
:
- Usando o valor de
obtido:
- Logo
Passo 7
Interpretação final (breve comentário prático):
- O valor de
calculado é extremamente baixo (negativo e muito grande em magnitude). Isso significa, fisicamente, que com um coeficiente de convecção tão pequeno ( ) a convecção não conseguiria remover a enorme potência por metro que atravessa a parede se a superfície externa estivesse a . Em outras palavras, manter ao mesmo tempo que só é compatível com um ar ambiente absurdamente frio — sinal de que, num caso real, ou seria muito maior (se o ar não esfriasse tanto), ou o coeficiente seria muito maior (convecção forçada) ou haveria dissipação adicional (por radiação, por exemplo). Mas matematicamente, usando as hipóteses do enunciado, o valor numérico acima é o resultado.
Resposta
(a)
(b)