Um longo cilindro oco é constituído de um material com condutividade térmica 15 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} e, diâmetros interno e externo 125 mm e 250 mm , respectivamente. Em condições de regime estacionário, a temperatura no interior do cilindro é 400{ }^{\circ} \mathrm{C} e a temperatura na superfície externa de 100^{\circ} \mathrm{C}. Determine:
a) a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento;
b) a temperatura do ar externo em torno do cilindro se o coeficiente de transferência de calor sobre sua superficie externa é 3 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}.

Passo 1

Vamos organizar direitinho o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados fornecidos:
  • condutividade térmica: k=15\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • diâmetro interno: d_i=125\\ \mathrm{mm}=0{,}125\\ \mathrm{m} → raio interno \;r_i=\dfrac{d_i}{2}=0{,}0625\\ \mathrm{m}.
  • diâmetro externo: d_o=250\\ \mathrm{mm}=0{,}250\\ \mathrm{m} → raio externo \;r_o=\dfrac{d_o}{2}=0{,}125\\ \mathrm{m}.
  • temperatura na superfície interna: T_i=400{\,}^{\circ}\mathrm{C}.
  • temperatura na superfície externa: T_o=100{\,}^{\circ}\mathrm{C}.
  • coeficiente de convecção externo (para a parte b): h=3\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.
Perguntas:
(a) Determinar a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento do cilindro (isto é, Q' em \mathrm{W/m}).
(b) Determinar a temperatura do ar externo T_{\infty} em redor do cilindro, supondo que o coeficiente de transferência por convecção sobre a superfície externa é h=3\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.

Passo 2

Relembrando a lei física que vamos usar (passo-a-passo e com intuição):
  • Em regime estacionário, sem geração interna e com simetria cilíndrica, o fluxo de calor radial por unidade de comprimento é constante e dado por uma versão de Fourier em coordenadas cilíndricas.
  • Considere uma casca cilíndrica de raio r e comprimento L. A área de transferência radial através dessa casca é A_r = 2\pi r L.
  • A lei de condução radial (forma diferencial) é
q_r = -k A_r \frac{dT}{dr} = -k(2\pi r L)\frac{dT}{dr}.
Aqui q_r é a potência (em W) que atravessa a superfície cilíndrica de raio r. Para trabalhar por unidade de comprimento, definimos Q'=\dfrac{q_r}{L} (W/m), que é constante com r.

Passo 3

Obter a expressão analítica relacionando Q' e as temperaturas:
  • Dividindo a equação diferencial por L e isolando as variáveis,
Q' = -k(2\pi r)\frac{dT}{dr}.
  • Reorganizando e integrando entre r_i e r_o (correspondente a T_i e T_o):
\frac{dT}{dr} = -\frac{Q'}{2\pi k}\cdot\frac{1}{r}.
Integramos:
\int_{T_i}^{T_o} dT = -\frac{Q'}{2\pi k}\int_{r_i}^{r_o}\frac{dr}{r}.
  • A integral dá:
T_o - T_i = -\frac{Q'}{2\pi k}\ln\!\left(\frac{r_o}{r_i}\right).
Multiplicando por -1 e isolando Q',
Q' = \frac{2\pi k\,(T_i-T_o)}{\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)}.
Comentário didático: essa fórmula pode ser vista como análoga a uma “resistência térmica” radial, onde a resistência por unidade de comprimento é \;R'_{\mathrm{cond}}=\dfrac{1}{2\pi k}\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right), e Q'=(T_i-T_o)/R'_{\mathrm{cond}}.

Passo 4

Calcular numericamente Q' (parte a):
  • Primeiro calcule a razão de raios:
\frac{r_o}{r_i}=\frac{0{,}125}{0{,}0625}=2.
  • Logo \ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)=\ln(2)\approx0{,}693147.
  • Substituindo na fórmula:
Q'=\frac{2\pi\cdot 15\cdot(400-100)}{\ln(2)} = \frac{2\pi\cdot 15\cdot 300}{\ln(2)}.
  • Calcule passo a passo:
2\pi\cdot 15\cdot 300 = 9000\pi \approx 28274{,}3338823.
Q' \approx \frac{28274{,}3338823}{0{,}693147} \approx 4{,}08\times10^{4}\\ \mathrm{W/m}.
Portanto a taxa de calor por unidade de comprimento é aproximadamente 4,08\times10^{4}\\ \mathrm{W/m}.

Passo 5

Agora a parte (b): relação com convecção no exterior e determinação de T_{\infty}.
  • A potência Q' que sai pela parede externa é removida por convecção do ar. A lei de convecção na superfície externa (por unidade de comprimento) é
Q' = h\;A_s\;(T_o-T_{\infty}),
onde a área externa por unidade de comprimento é A_s = 2\pi r_o.
  • Isolando T_{\infty},
T_{\infty} = T_o - \frac{Q'}{h\,2\pi r_o}.
Comentário didático: isso é direto da lei de resfriamento de Newton: o fluxo convectivo é proporcional à diferença de temperatura entre a superfície e o fluido. Aqui usamos a área real da superfície cilíndrica.

Passo 6

Calcular numericamente T_{\infty}:
  • Primeiro calcule h\,2\pi r_o:
h\,2\pi r_o = 3\cdot 2\pi\cdot 0{,}125 = 0{,}75\pi \approx 2{,}35619449\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Usando o valor de Q' obtido:
\frac{Q'}{h\,2\pi r_o} \approx \frac{4{,}08\times10^{4}}{2{,}35619449} \approx 1,73\times10^{4}\\ \mathrm{K}.
  • Logo
T_{\infty} = 100{\,}^{\circ}\mathrm{C} - 1{,}73\times10^{4}\\ \mathrm{K} \approx -1{,}72\times10^{4}{\,}^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 7

Interpretação final (breve comentário prático):
  • O valor de T_{\infty} calculado é extremamente baixo (negativo e muito grande em magnitude). Isso significa, fisicamente, que com um coeficiente de convecção tão pequeno ( h=3\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}) a convecção não conseguiria remover a enorme potência por metro que atravessa a parede se a superfície externa estivesse a 100{\,}^{\circ}\mathrm{C}. Em outras palavras, manter T_o=100{\,}^{\circ}\mathrm{C} ao mesmo tempo que T_i=400{\,}^{\circ}\mathrm{C} só é compatível com um ar ambiente absurdamente frio — sinal de que, num caso real, ou T_o seria muito maior (se o ar não esfriasse tanto), ou o coeficiente h seria muito maior (convecção forçada) ou haveria dissipação adicional (por radiação, por exemplo). Mas matematicamente, usando as hipóteses do enunciado, o valor numérico acima é o resultado.

Resposta

(a) Q'\approx 4,08\times10^{4}\\ \mathrm{W/m}
(b) T_{\infty}\approx -1,72\times10^{4}{\,}^{\circ}\mathrm{C}

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