Uma mistura gasosa, proveniente do processo de reforma de hidrocarboneto contém 50 \% \mathrm{H}_{2}, 40 \% \mathrm{CO}_{2} e 10 \% de \mathrm{CH}_{4} por volume a 400^{\circ} \mathrm{C}(673 \mathrm{~K}) e está submetida a uma pressão de 1,5 \mathrm{~atm}. Determine a concentração molar e as frações mássicas de cada espécie na mistura, bem como a densidade da mistura.

Passo 1

Vamos listar claramente os dados que o enunciado fornece e o que ele pede.
Dados fornecidos:
  • Frações por volume: \,50\% de \mathrm{H_2}, \,40\% de \mathrm{CO_2} e \,10\% de \mathrm{CH_4}.
  • Temperatura: \,400^{\circ}\mathrm{C} = 673\\ \mathrm{K}.
  • Pressão: \,1{,}5\\ \mathrm{atm}.
O enunciado pede:
  • A concentração molar (concentração total e de cada espécie) da mistura gasosa.
  • As frações mássicas de cada espécie na mistura.
  • A densidade da mistura.
Observação importante (para não confundir): para gases ideais, fração por volume = fração molar. Portanto podemos usar diretamente as frações dadas como frações molares.

Passo 2

Explicação da ideia e fórmula principal (lei dos gases ideais) que usaremos.
  • A concentração molar total (número de mols por litro) de um gás ideal em equilíbrio é dada por:
c_{\text{tot}}=\frac{P}{R\,T},
onde:
  • c_{\text{tot}} é a concentração total em \mathrm{mol\,L^{-1}},
  • P é a pressão absoluta em \mathrm{atm},
  • T é a temperatura absoluta em \mathrm{K},
  • R é a constante dos gases ideais em unidades compatíveis com \mathrm{L}, \mathrm{atm}, \mathrm{mol}, \mathrm{K}. Usaremos R=0{,}082057\\ \mathrm{L\;atm\;mol^{-1}\;K^{-1}}.
Cálculo de c_{\text{tot}} com os dados:
c_{\text{tot}}=\frac{P}{R\,T}=\frac{1{,}5}{0{,}082057\cdot 673}.
Agora calculamos 0{,}082057\cdot 673:
0{,}082057\cdot 673 \approx 55{,}2244.
Portanto
c_{\text{tot}}=\frac{1{,}5}{55{,}2244}\approx 0{,}02717\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
Breve comentário didático: essa fórmula vem de \,PV=nRT; dividindo por V obtemos P=nRT/V e como c=n/V obtemos c=P/(RT). Fácil e útil na prova.

Passo 3

Concentração molar de cada espécie.
Como a fração por volume = fração molar y_i, temos:
y_{\mathrm{H_2}}=0{,}50,\qquad y_{\mathrm{CO_2}}=0{,}40,\qquad y_{\mathrm{CH_4}}=0{,}10.
A concentração molar de cada espécie é:
c_i = y_i \, c_{\text{tot}}.
Cálculos:
c_{\mathrm{H_2}}=0{,}50\cdot 0{,}02717 \approx 0{,}01358\\ \mathrm{mol\,L^{-1}},
c_{\mathrm{CO_2}}=0{,}40\cdot 0{,}02717 \approx 0{,}01087\\ \mathrm{mol\,L^{-1}},
c_{\mathrm{CH_4}}=0{,}10\cdot 0{,}02717 \approx 0{,}002717\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
Dica prática para prova: multiplique o c_{\text{tot}} pela fração molar para obter rapidamente as concentrações parciais.

Passo 4

Cálculo da massa molar média da mistura (molar mass average).
Explicação: a massa molar média da mistura \overline{M} em \mathrm{g\,mol^{-1}} é a média ponderada pelas frações molares:
\overline{M}=\sum_i y_i M_i,
onde M_i é a massa molar de cada espécie.
Valores das massas molares (tabeladas):
M_{\mathrm{H_2}}=2{,}016\\ \mathrm{g\,mol^{-1}},\quad M_{\mathrm{CO_2}}=44{,}01\\ \mathrm{g\,mol^{-1}},\quad M_{\mathrm{CH_4}}=16{,}04\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}.
Cálculo:
\overline{M}=0{,}50\cdot 2{,}016 + 0{,}40\cdot 44{,}01 + 0{,}10\cdot 16{,}04.
Termos:
0{,}50\cdot 2{,}016=1{,}008, \qquad 0{,}40\cdot 44{,}01=17{,}604, \qquad 0{,}10\cdot 16{,}04=1{,}604.
Somando:
\overline{M}=1{,}008+17{,}604+1{,}604=20{,}216\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}.

Passo 5

Cálculo da densidade da mistura.
Explicação: densidade \rho (massa por volume) pode ser obtida multiplicando-se a concentração molar total pela massa molar média:
\rho = c_{\text{tot}}\;\overline{M}.
Aqui, se c_{\text{tot}} está em \mathrm{mol\,L^{-1}} e \overline{M} em \mathrm{g\,mol^{-1}}, o produto dá \mathrm{g\,L^{-1}}. Para converter em \mathrm{kg\,m^{-3}} (unidade comum), note que 1\\ \mathrm{g\,L^{-1}} = 1\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}.
Cálculo:
\rho = 0{,}02717\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}\times 20{,}216\\ \mathrm{g\,mol^{-1}} \approx 0{,}5492\\ \mathrm{g\,L^{-1}}.
Convertendo:
\rho \approx 0{,}5492\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}.
Observação: essa densidade é bem menor que a da ar (aprox 1{,}2\\ \mathrm{kg\,m^{-3}} a CNTP), porque a mistura tem muito hidrogênio leve.

Passo 6

Cálculo das frações mássicas.
Explicação: fração mássica de cada componente w_i é a razão entre a massa do componente por mol da mistura e a massa molar média:
w_i=\frac{y_i M_i}{\overline{M}}.
Essa fórmula é direta: o numerador é a contribuição de massa (por mol de mistura) do componente i.
Cálculos (mostrando cada termo):
w_{\mathrm{H_2}}=\frac{0{,}50\cdot 2{,}016}{20{,}216}=\frac{1{,}008}{20{,}216}\approx 0{,}04986 \\ (4{,}986\%),
w_{\mathrm{CO_2}}=\frac{0{,}40\cdot 44{,}01}{20{,}216}=\frac{17{,}604}{20{,}216}\approx 0{,}8709 \\ (87{,}09\%),
w_{\mathrm{CH_4}}=\frac{0{,}10\cdot 16{,}04}{20{,}216}=\frac{1{,}604}{20{,}216}\approx 0{,}07924 \\ (7{,}924\%).
Verificação rápida: 0{,}04986+0{,}8709+0{,}07924\approx 1{,}000 (conservação de massa fechando corretamente).

Passo 7

Resumo numérico (arredondamentos apropriados) — pronto para consulta rápida na prova.
Concentração molar total e parciais, frações mássicas e densidade já calculadas. Se precisar, pode transformar as concentrações para \mathrm{mol\,m^{-3}} multiplicando por 1000 (ex.: 0{,}02717\\ \mathrm{mol\,L^{-1}} = 27{,}17\\ \mathrm{mol\,m^{-3}}).

Resposta

Concentração molar total: c_{\text{tot}}=0{,}02717\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}
Concentração molar de \mathrm{H_2}: c_{\mathrm{H_2}}=0{,}01358\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}
Concentração molar de \mathrm{CO_2}: c_{\mathrm{CO_2}}=0{,}01087\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}
Concentração molar de \mathrm{CH_4}: c_{\mathrm{CH_4}}=0{,}002717\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}
Frações mássicas: w_{\mathrm{H_2}}=0{,}04986 (4{,}986\%), w_{\mathrm{CO_2}}=0{,}8709 (87{,}09\%), w_{\mathrm{CH_4}}=0{,}07924 (7{,}924\%)
Densidade da mistura: \rho=0{,}5492\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}

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