Informações / definições que vamos usar (essas são as relações físicas fundamentais que conectam as grandezas molares e mássicas; aqui apenas as listo — a resolução começa no Passo 2):
c é a concentração molar total (mol m^{-3}).
y_A é a fração molar do componente A.
D_{AB} é o coeficiente de difusão molar (m^2 s^{-1}).
\vec{N}_{i,z} é o fluxo molar do componente i na direção z (mol m^{-2} s^{-1}).
\vec{n}_{i,z} é o fluxo mássico do componente i na direção z (kg m^{-2} s^{-1}).
M_i é a massa molar do componente i (kg mol^{-1}).
\rho_i é a densidade de massa do componente i (kg m^{-3}).
w_i é a fração mássica do componente i.
As relações entre essas grandezas que serão usadas:
onde \overline{M}=y_A M_A+y_B M_B é a massa molar média da mistura (média ponderada por fração molar). A demonstração a seguir transformará a equação molar na forma mássica pedida usando essas relações.
Passo 2
Converter a equação molar para fluxos mássicos multiplicando ambos os lados por M_A (massa molar do componente A). Isso é natural porque o fluxo mássico de A é \vec{n}_{A,z}=M_A\vec{N}_{A,z}. Aplicando essa multiplicação:
Para passar de -M_A c D_{AB}\dfrac{d y_A}{dz} para uma expressão com \dfrac{d\rho_A}{dz} é conveniente assumir que a concentração molar total c é constante ao longo da direção z (condição comum em líquidos incompressíveis ou em muitas deduções idealizadas). Sob essa hipótese temos \dfrac{d c}{dz}=0, logo:
\frac{d\rho_A}{dz}=M_A c\frac{d y_A}{dz}.
Assim o primeiro termo se transforma exatamente em
(Observação: se c não for constante surgiriam termos extras envolvendo \dfrac{d c}{dz}; nesse enunciado supõe‑se implicitamente a forma simplificada.)
Passo 4
Trabalhar o segundo termo do lado direito:
M_A y_A\bigl(\vec{N}_{A,z}+\vec{N}_{B,z}\bigr).
Queremos escrever esse termo em função de frações mássicas w_A e fluxos mássicos \vec{n}_{i,z}. Use as definições:
w_A=\frac{\rho_A}{\rho}=\frac{M_A c y_A}{\rho},\qquad \vec{n}_{i,z}=M_i\vec{N}_{i,z}.
Também note que a massa molar média da mistura é \overline{M}=y_A M_A+y_B M_B e a densidade total é \rho=c\,\overline{M}. O fluxo mássico total (soma das contribuições de cada componente) é
porque \vec{n}_{\text{total},z}=\rho\,v=c\overline{M}\,v=\overline{M}\,c\,v=\overline{M}(\vec{N}_{A,z}+\vec{N}_{B,z}) (a soma dos fluxos molares vezes \overline{M} dá o fluxo mássico total). Agora isolamos \vec{N}_{A,z}+\vec{N}_{B,z}: