\underline{5} - A partir da Equação de Fick para a taxa de difusão de A través de uma mistura binária dos componentes A e B, dada por:
\vec{N}_{A, Z}=-c \cdot D_{A B} \frac{d y_{A}}{d z}+y_{A}\left(\vec{N}_{A, Z}+\vec{N}_{B, Z}\right)

Mostre que:

\vec{n}_{A, z}=-D_{A B} \frac{d \rho_{A}}{d z}+w_{A}\left(\vec{n}_{A, z}+\vec{n}_{B, z}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Fick para o componente A numa mistura binária (fluxos molares no eixo z):
\vec{N}_{A,z}=-c\;D_{AB}\frac{d y_A}{d z}+y_A\bigl(\vec{N}_{A,z}+\vec{N}_{B,z}\bigr).
O que pedem é mostrar a forma equivalente escrita em termos de fluxos mássicos (fluxos de massa) e densidades, ou seja:
\vec{n}_{A,z}=-D_{AB}\frac{d \rho_A}{d z}+w_A\bigl(\vec{n}_{A,z}+\vec{n}_{B,z}\bigr).
Informações / definições que vamos usar (essas são as relações físicas fundamentais que conectam as grandezas molares e mássicas; aqui apenas as listo — a resolução começa no Passo 2):
  • c é a concentração molar total (mol m^{-3}).
  • y_A é a fração molar do componente A.
  • D_{AB} é o coeficiente de difusão molar (m^2 s^{-1}).
  • \vec{N}_{i,z} é o fluxo molar do componente i na direção z (mol m^{-2} s^{-1}).
  • \vec{n}_{i,z} é o fluxo mássico do componente i na direção z (kg m^{-2} s^{-1}).
  • M_i é a massa molar do componente i (kg mol^{-1}).
  • \rho_i é a densidade de massa do componente i (kg m^{-3}).
  • w_i é a fração mássica do componente i.
As relações entre essas grandezas que serão usadas:
\vec{n}_{i,z}=M_i\,\vec{N}_{i,z},\qquad \rho_i=M_i\,c\,y_i,\qquad \rho=c\,\overline{M},\qquad w_i=\frac{\rho_i}{\rho},
onde \overline{M}=y_A M_A+y_B M_B é a massa molar média da mistura (média ponderada por fração molar). A demonstração a seguir transformará a equação molar na forma mássica pedida usando essas relações.

Passo 2

Converter a equação molar para fluxos mássicos multiplicando ambos os lados por M_A (massa molar do componente A). Isso é natural porque o fluxo mássico de A é \vec{n}_{A,z}=M_A\vec{N}_{A,z}. Aplicando essa multiplicação:
M_A\vec{N}_{A,z}=-M_A c\,D_{AB}\frac{d y_A}{d z}+M_A y_A\bigl(\vec{N}_{A,z}+\vec{N}_{B,z}\bigr).
Pelo lado esquerdo temos, por definição, o fluxo mássico de A:
\vec{n}_{A,z}=-M_A c\,D_{AB}\frac{d y_A}{d z}+M_A y_A\bigl(\vec{N}_{A,z}+\vec{N}_{B,z}\bigr).

Passo 3

Trabalhar o primeiro termo do lado direito para escrevê‑lo em função de \rho_A. Use a relação entre densidade parcial e fração molar:
\rho_A = M_A c y_A.
Diferenciando em relação a z:
\frac{d\rho_A}{dz}=M_A\left(c\frac{d y_A}{dz}+y_A\frac{d c}{dz}\right).
Para passar de -M_A c D_{AB}\dfrac{d y_A}{dz} para uma expressão com \dfrac{d\rho_A}{dz} é conveniente assumir que a concentração molar total c é constante ao longo da direção z (condição comum em líquidos incompressíveis ou em muitas deduções idealizadas). Sob essa hipótese temos \dfrac{d c}{dz}=0, logo:
\frac{d\rho_A}{dz}=M_A c\frac{d y_A}{dz}.
Assim o primeiro termo se transforma exatamente em
- M_A c\,D_{AB}\frac{d y_A}{d z} = -D_{AB}\frac{d\rho_A}{dz}.
(Observação: se c não for constante surgiriam termos extras envolvendo \dfrac{d c}{dz}; nesse enunciado supõe‑se implicitamente a forma simplificada.)

Passo 4

Trabalhar o segundo termo do lado direito:
M_A y_A\bigl(\vec{N}_{A,z}+\vec{N}_{B,z}\bigr).
Queremos escrever esse termo em função de frações mássicas w_A e fluxos mássicos \vec{n}_{i,z}. Use as definições:
w_A=\frac{\rho_A}{\rho}=\frac{M_A c y_A}{\rho},\qquad \vec{n}_{i,z}=M_i\vec{N}_{i,z}.
Também note que a massa molar média da mistura é \overline{M}=y_A M_A+y_B M_B e a densidade total é \rho=c\,\overline{M}. O fluxo mássico total (soma das contribuições de cada componente) é
\vec{n}_{\text{total},z}=\vec{n}_{A,z}+\vec{n}_{B,z}=M_A\vec{N}_{A,z}+M_B\vec{N}_{B,z}.
Por outro lado, a soma dos fluxos molares é \vec{N}_{A,z}+\vec{N}_{B,z}. Multiplicando essa soma por \overline{M} obtemos
\overline{M}\bigl(\vec{N}_{A,z}+\vec{N}_{B,z}\bigr)=y_A M_A\bigl(\vec{N}_A+\vec{N}_B\bigr)+y_B M_B\bigl(\vec{N}_A+\vec{N}_B\bigr).
Mas a maneira direta e mais simples é usar a relação entre soma de fluxos mássicos e soma de fluxos molares:
\vec{n}_{A,z}+\vec{n}_{B,z}=\overline{M}\bigl(\vec{N}_{A,z}+\vec{N}_{B,z}\bigr),
porque \vec{n}_{\text{total},z}=\rho\,v=c\overline{M}\,v=\overline{M}\,c\,v=\overline{M}(\vec{N}_{A,z}+\vec{N}_{B,z}) (a soma dos fluxos molares vezes \overline{M} dá o fluxo mássico total). Agora isolamos \vec{N}_{A,z}+\vec{N}_{B,z}:
\vec{N}_{A,z}+\vec{N}_{B,z}=\frac{\vec{n}_{A,z}+\vec{n}_{B,z}}{\overline{M}}.
Substituindo essa expressão no segundo termo:
M_A y_A\bigl(\vec{N}_{A,z}+\vec{N}_{B,z}\bigr)=M_A y_A\frac{\vec{n}_{A,z}+\vec{n}_{B,z}}{\overline{M}}.
Mas M_A y_A/\overline{M} é exatamente a fração mássica w_A (ver definição acima), logo:
M_A y_A\bigl(\vec{N}_{A,z}+\vec{N}_{B,z}\bigr)=w_A\bigl(\vec{n}_{A,z}+\vec{n}_{B,z}\bigr).

Passo 5

Reunindo os resultados do Passo 3 e do Passo 4 na expressão obtida no Passo 2:
\vec{n}_{A,z}=-M_A c\,D_{AB}\frac{d y_A}{d z}+M_A y_A\bigl(\vec{N}_{A,z}+\vec{N}_{B,z}\bigr)
torna‑se, sob a hipótese \dfrac{d c}{dz}=0,
\vec{n}_{A,z}=-D_{AB}\frac{d\rho_A}{dz}+w_A\bigl(\vec{n}_{A,z}+\vec{n}_{B,z}\bigr).
Assim obtemos exatamente a forma solicitada.

Resposta

\vec{n}_{A,z}=-D_{AB}\frac{d\rho_A}{dz}+w_A\bigl(\vec{n}_{A,z}+\vec{n}_{B,z}\bigr)

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