3^{\mathrm{a}} Questão (Valor: \mathbf{2 , 5} pontos): Usando o Teorema dos \Pi 's (ou de Buckingham), encontre os parâmetros adimensionais ( \Pi 's) para o estudo da força de arraste ( \mathbf{F} ) sobre o casco de um navio, se \mathbf{F} é função de: comprimento do casco ( \ell ), altura de rugosidade do casco ( \mathbf{k} ), velocidade do barco ( \mathbf{v} ), viscosidade do fluido ( \mu ) e densidade do fluido ( \rho ), ou seja, \mathbf{F}=\mathrm{f}(\boldsymbol{\rho}, \mathbf{v}, \boldsymbol{\ell}, \boldsymbol{\mu}, \mathbf{k}). Considerar \rho, \mathbf{v} e \ell como variáveis repetidas, caso seja possível.
Dica: \boldsymbol{\mu} pode ser dado em \mathrm{Kg} \cdot \mathrm{m}^{-1} \cdot \mathrm{~s}^{-1}.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os parâmetros adimensionais (os \Pi's) para o arraste \mathbf{F} sobre o casco de um navio, sabendo que
\mathbf{F} = f(\rho,\, v,\, \ell,\, \mu,\, k).
Dados e variáveis relevantes fornecidas:
\text{Força: } \mathbf{F}; \qquad \text{densidade: } \rho; \qquad \text{velocidade: } v; \qquad \text{comprimento do casco: } \ell; \qquad \text{viscosidade dinâmica: } \mu \;\text{(unidades dadas: }\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-1}\cdot\mathrm{s}^{-1}\text{)}; \qquad \text{altura de rugosidade: } k.çâ
Também foi sugerido considerar \rho, v e \ell como variáveis repetidas, se possível.

Passo 2

Breve explicação do que vamos fazer (sem resolver ainda): pelo Teorema de Buckingham formamos grupos adimensionais \Pi. O número de \Pi's é n-r, onde n é o número de variáveis e r é o número de dimensões fundamentais envolvidas. Aqui n=6 ( F,\rho,v,\ell,\mu,k). As dimensões fundamentais são massa, comprimento e tempo, então r=3. Logo teremos 6-3=3 grupos adimensionais. Vamos escolher como variáveis repetidas \rho, v e \ell (como sugerido) e construir um \Pi para cada uma das restantes ( F,\mu,k). Em cada caso fazemos um produto da variável não repetida pelas variáveis repetidas elevadas a expoentes a ajustar para ficar adimensional.

Passo 3

Escrevendo as dimensões (notação: [\,\cdot\,] significa “dimensão de”):
[F] = M\,L\,T^{-2},\qquad [\rho] = M\,L^{-3},\qquad [v] = L\,T^{-1},
[\ell] = L,\qquad [\mu] = M\,L^{-1}\,T^{-1},\qquad [k] = L.
Observação rápida sobre as variáveis repetidas: as dimensões de \rho, v e \ell são
[\rho]=(M,\,L^{-3},\,T^{0}),\quad [v]=(M^{0},\,L^{1},\,T^{-1}),\quad [\ell]=(M^{0},\,L^{1},\,T^{0}),
essas três colunas são linearmente independentes (fornecem M, L e T quando combinadas), então servem como boas variáveis repetidas.

Passo 4

Construção do primeiro \Pi\) usando \(\mathbf{F}\) como variável não repetida: Definimos \[\Pi_1 = F\,\rho^{a}\,v^{b}\,\ell^{c}.
Impondo adimensionalidade, escrevemos as dimensões totais e igualamos os expoentes de M, L, T a zero:
[F][\rho]^a [v]^b [\ell]^c = (M\,L\,T^{-2})\,(M\,L^{-3})^{a}\,(L\,T^{-1})^{b}\,(L)^{c}.
Agrupando potências:
M^{1+a}\; L^{1-3a+b+c}\; T^{-2-b}.
Para ser adimensional devemos ter
\begin{cases} 1+a = 0\\[4pt] -2-b = 0\\[4pt] 1-3a+b+c = 0 \end{cases}
Resolvendo: da primeira a=-1\]. Da segunda \(b=-2. Substituindo na terceira:
1-3(-1)+(-2)+c = 0 \Rightarrow 1+3-2+c=0 \Rightarrow 2+c=0 \Rightarrow c=-2.
Logo
\Pi_1 = F\,\rho^{-1}\,v^{-2}\,\ell^{-2} = \frac{F}{\rho\,v^{2}\,\ell^{2}}.
Interpretação rápida: \Pi_1 é o coeficiente adimensional de arraste (forma usual de um coeficiente de arrasto).]

Passo 5

Construção do segundo \Pi\) usando \(\mu\) como variável não repetida: \[\Pi_2 = \mu\,\rho^{a}\,v^{b}\,\ell^{c}.
Dimensionalmente:
[\mu][\rho]^a [v]^b [\ell]^c = (M\,L^{-1}\,T^{-1})\,(M\,L^{-3})^{a}\,(L\,T^{-1})^{b}\,(L)^{c} = M^{1+a}\; L^{-1-3a+b+c}\; T^{-1-b}.
Impondo expoentes zero:
\begin{cases} 1+a=0\\[4pt] -1-b=0\\[4pt] -1-3a+b+c=0 \end{cases}
Logo a=-1\], \(b=-1. Substituindo na terceira:
-1-3(-1)+(-1)+c=0 \Rightarrow -1+3-1+c=0 \Rightarrow 1+c=0 \Rightarrow c=-1.
Portanto
\Pi_2 = \mu\,\rho^{-1}\,v^{-1}\,\ell^{-1} = \frac{\mu}{\rho\,v\,\ell}.
Observação didática: a forma mais familiar (e positiva) é tomar o recíproco desse \Pi_2. O recíproco é o número de Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{1}{\Pi_2}=\frac{\rho\,v\,\ell}{\mu}.
Na prática costumamos apresentar \mathrm{Re} em vez de \Pi_2 na forma direta porque é um número grande para fluxo turbulento etc.]

Passo 6

Construção do terceiro \Pi\) usando \(k\) (rugosidade) como variável não repetida: \[\Pi_3 = k\,\rho^{a}\,v^{b}\,\ell^{c}.
Dimensionalmente:
[k][\rho]^a [v]^b [\ell]^c = L\,(M\,L^{-3})^{a}\,(L\,T^{-1})^{b}\,(L)^{c} = M^{a}\; L^{1-3a+b+c}\; T^{-b}.
Impondo adimensionalidade:
\begin{cases} a=0\\[4pt] -b=0\\[4pt] 1-3a+b+c=0 \end{cases}
Da primeira a=0\]. Da segunda \(b=0. Substituindo na terceira:
1-3\cdot 0 + 0 + c = 0 \Rightarrow 1+c=0 \Rightarrow c=-1.
Assim
\Pi_3 = k\,\ell^{-1} = \frac{k}{\ell}.
Interpretação: \Pi_3 é a razão de rugosidade adimensionalizada pelo comprimento do casco.]

Passo 7

Resumo e interpretação final (didática, para usar na prova): encontramos três grupos adimensionais independentes. É comum reescrever o resultado apresentando o coeficiente de arrasto e o número de Reynolds em suas formas convencionais:
\Pi_1 = \frac{F}{\rho\,v^{2}\,\ell^{2}}\quad(\text{coeficiente de arrasto}),
\mathrm{Re} = \frac{\rho\,v\,\ell}{\mu}\quad(\text{número de Reynolds, recíproco de }\Pi_2),úí
\Pi_3 = \frac{k}{\ell}\quad(\text{razão de rugosidade}).ã
A relação funcional adimensional fica então, tipicamente,
\frac{F}{\rho v^{2}\ell^{2}} = \Phi\!\left(\mathrm{Re},\,\frac{k}{\ell}\right),
onde \Phi é uma função adimensional desconhecida que seria determinada experimentalmente ou por simulação.

Resposta

\displaystyle \Pi_{1}=\frac{F}{\rho\,v^{2}\,\ell^{2}}
\displaystyle \mathrm{Re}=\frac{\rho\,v\,\ell}{\mu}
\displaystyle \Pi_{3}=\frac{k}{\ell}

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