3^{\mathrm{a}} Questão (Valor: \mathbf{2 , 5} pontos): Usando o Teorema dos \Pi 's (ou de Buckingham), encontre os parâmetros adimensionais ( \Pi 's) para o estudo da força de arraste ( \mathbf{F} ) sobre o casco de um navio, se \mathbf{F} é função de: comprimento do casco ( \ell ), altura de rugosidade do casco ( \mathbf{k} ), velocidade do barco ( \mathbf{v} ), viscosidade do fluido ( \mu ) e densidade do fluido ( \rho ), ou seja, \mathbf{F}=\mathrm{f}(\boldsymbol{\rho}, \mathbf{v}, \boldsymbol{\ell}, \boldsymbol{\mu}, \mathbf{k}). Considerar \rho, \mathbf{v} e \ell como variáveis repetidas, caso seja possível.
Dica: \boldsymbol{\mu} pode ser dado em \mathrm{Kg} \cdot \mathrm{m}^{-1} \cdot \mathrm{~s}^{-1}.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os parâmetros adimensionais (os \Pi's) para o arraste \mathbf{F} sobre o casco de um navio, sabendo que
Também foi sugerido considerar \rho, v e \ell como variáveis repetidas, se possível.
Passo 2
Breve explicação do que vamos fazer (sem resolver ainda): pelo Teorema de Buckingham formamos grupos adimensionais \Pi. O número de \Pi's é n-r, onde n é o número de variáveis e r é o número de dimensões fundamentais envolvidas. Aqui n=6 (F,\rho,v,\ell,\mu,k). As dimensões fundamentais são massa, comprimento e tempo, então r=3. Logo teremos 6-3=3 grupos adimensionais. Vamos escolher como variáveis repetidas \rho, v e \ell (como sugerido) e construir um \Pi para cada uma das restantes (F,\mu,k). Em cada caso fazemos um produto da variável não repetida pelas variáveis repetidas elevadas a expoentes a ajustar para ficar adimensional.
Passo 3
Escrevendo as dimensões (notação: [\,\cdot\,] significa “dimensão de”):
Interpretação: \Pi_3 é a razão de rugosidade adimensionalizada pelo comprimento do casco.]
Passo 7
Resumo e interpretação final (didática, para usar na prova): encontramos três grupos adimensionais independentes. É comum reescrever o resultado apresentando o coeficiente de arrasto e o número de Reynolds em suas formas convencionais:
\Pi_1 = \frac{F}{\rho\,v^{2}\,\ell^{2}}\quad(\text{coeficiente de arrasto}),
\mathrm{Re} = \frac{\rho\,v\,\ell}{\mu}\quad(\text{número de Reynolds, recíproco de }\Pi_2),úí
\Pi_3 = \frac{k}{\ell}\quad(\text{razão de rugosidade}).ã
A relação funcional adimensional fica então, tipicamente,