b) Num sistema inercial, dois eventos simultâneos ocorrem a uma distância de 5 km um do outro, ao longo do eixo
. Num outro sistema inercial, essa distância é observada como 7 km . Qual a velocidade desse sistema relativamente ao primeiro? Qual o intervalo de tempo entre os eventos nesse sistema?
Passo 1
O enunciado dá duas informações e faz duas perguntas. Vou listar tudo claramente (peguei estes números do enunciado):
- Dois eventos ocorrem simultaneamente num certo sistema inercial
. Ou seja, entre eles no sistema . - Esses dois eventos estão separados ao longo do eixo
por uma distância no sistema . - Num outro sistema inercial
(movendo-se em relação a ), a separação espacial entre os mesmos dois eventos é observada como .
O enunciado pede:
- Qual a velocidade do sistema
relativamente a ? - Qual é o intervalo de tempo entre os eventos no sistema
(isto é, )?
Passo 2
Ferramentas e fórmulas que vamos usar (com explicações didáticas passo a passo).
- A transformação de Lorentz para um impulso (boost) ao longo do eixo
relaciona diferenças de coordenadas entre os dois sistemas. Para diferenças entre dois eventos vale:
Explicando cada símbolo:
-
é a diferença de coordenadas entre os eventos em (aqui ). -
é a diferença de coordenadas entre os mesmos eventos em (aqui ). -
e são as diferenças de tempo entre os eventos em e , respectivamente. -
é a velocidade do sistema vista por (o que queremos achar). -
é a velocidade da luz no vácuo (uso quando precisar de número). -
é o fator relativístico definido por
Breve explicação física: as transformações acima surgem porque tempo e espaço se misturam quando as origens dos referenciais movem-se uma em relação à outra. O fator
cresce quando
se aproxima de
.
Passo 3
Usar que os eventos são simultâneos em
, ou seja
, para simplificar as fórmulas.
Com
a primeira transformação fica
Isto é, a separação observada em
é simplesmente
vezes a separação em
(porque o termo com
desaparece).
Substituindo os valores dados:
Logo
Passo 4
Encontrar
a partir de
. Usamos
Isolando
:
Substituindo
:
Portanto a velocidade é
Convertendo para fração de
numérica e para km/s:
Passo 5
Calcular o intervalo de tempo entre os eventos em
, usando a fórmula com
:
Agora substituímos os valores numéricos passo a passo. Primeiro escrevo a forma limpa e depois avalio numericamente.
Usando
,
e
:
Isso é correto porque o fator
cancela com o
presente em
, e sobra uma unidade de comprimento (1 km) dividida por
(que tem unidade km/s), resultando em segundos.
Agora valor numérico:
e
. Assim
Em unidades mais intuitivas,
Passo 6
Interpretação física do sinal e checagem rápida:
- O sinal negativo em
significa que, no sistema , a ordem temporal dos dois eventos é invertida em relação a uma enumeração que tomássemos em (ou seja, um dos eventos acontece antes do outro em ). Isso não é paradoxal: eventos separados espacialmente e simultâneos num referencial não são simultâneos em outro referencial que se move relativamente a ele. - Verificação de consistência: como
é maior que e , faz sentido que a relação dê . Resultados numéricos estão nas ordens de grandeza esperadas (velocidade próxima de , diferença de tempo da ordem de 10^{-5}) s para separações de poucos km).