b) Num sistema inercial, dois eventos simultâneos ocorrem a uma distância de 5 km um do outro, ao longo do eixo y. Num outro sistema inercial, essa distância é observada como 7 km . Qual a velocidade desse sistema relativamente ao primeiro? Qual o intervalo de tempo entre os eventos nesse sistema?

Passo 1

O enunciado dá duas informações e faz duas perguntas. Vou listar tudo claramente (peguei estes números do enunciado):
  • Dois eventos ocorrem simultaneamente num certo sistema inercial S. Ou seja, entre eles \Delta t=0 no sistema S.
  • Esses dois eventos estão separados ao longo do eixo y por uma distância \Delta y=5\\ \text{km} no sistema S.
  • Num outro sistema inercial S' (movendo-se em relação a S), a separação espacial entre os mesmos dois eventos é observada como \Delta y'=7\\ \text{km}.
O enunciado pede:
  1. Qual a velocidade do sistema S' relativamente a S?
  2. Qual é o intervalo de tempo entre os eventos no sistema S' (isto é, \Delta t')?

Passo 2

Ferramentas e fórmulas que vamos usar (com explicações didáticas passo a passo).
  • A transformação de Lorentz para um impulso (boost) ao longo do eixo y relaciona diferenças de coordenadas entre os dois sistemas. Para diferenças entre dois eventos vale:
\Delta y'=\gamma\bigl(\Delta y - v\,\Delta t\bigr)
\Delta t'=\gamma\Bigl(\Delta t - \dfrac{v\,\Delta y}{c^{2}}\Bigr)
Explicando cada símbolo:
  • \Delta y é a diferença de coordenadas y entre os eventos em S (aqui 5\\ \text{km}).
  • \Delta y' é a diferença de coordenadas y entre os mesmos eventos em S' (aqui 7\\ \text{km}).
  • \Delta t e \Delta t' são as diferenças de tempo entre os eventos em S e S', respectivamente.
  • v é a velocidade do sistema S' vista por S (o que queremos achar).
  • c é a velocidade da luz no vácuo (uso c\approx 299792{,}458\\ \text{km/s} quando precisar de número).
  • \gamma é o fator relativístico definido por
\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.
Breve explicação física: as transformações acima surgem porque tempo e espaço se misturam quando as origens dos referenciais movem-se uma em relação à outra. O fator \gamma cresce quando v se aproxima de c.

Passo 3

Usar que os eventos são simultâneos em S, ou seja \Delta t=0, para simplificar as fórmulas.
Com \Delta t=0 a primeira transformação fica
\Delta y'=\gamma\,\Delta y.
Isto é, a separação observada em S' é simplesmente \gamma vezes a separação em S (porque o termo com \Delta t desaparece).
Substituindo os valores dados:
7\\ \text{km}=\Delta y'=\gamma\cdot 5\\ \text{km}.
Logo
\gamma=\dfrac{7}{5}=1{,}4.

Passo 4

Encontrar v a partir de \gamma. Usamos
\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.
Isolando \dfrac{v}{c}:
\frac{v}{c}=\sqrt{1-\dfrac{1}{\gamma^{2}}}.
Substituindo \gamma=\dfrac{7}{5}:
\frac{v}{c}=\sqrt{1-\dfrac{1}{(7/5)^{2}}} =\sqrt{1-\dfrac{25}{49}} =\sqrt{\dfrac{24}{49}} =\dfrac{2\sqrt{6}}{7}.
Portanto a velocidade é
v=\dfrac{2\sqrt{6}}{7}\,c.
Convertendo para fração de c numérica e para km/s:
v\approx 0{,}69985\,c\approx 2{,}10\times10^{5}\\ \text{km/s}.

Passo 5

Calcular o intervalo de tempo entre os eventos em S', usando a fórmula com \Delta t=0:
\Delta t'=\gamma\Bigl(0-\dfrac{v\,\Delta y}{c^{2}}\Bigr)=-\gamma\,\dfrac{v\,\Delta y}{c^{2}}.
Agora substituímos os valores numéricos passo a passo. Primeiro escrevo a forma limpa e depois avalio numericamente.
Usando \gamma=\dfrac{7}{5}, \Delta y=5\\ \text{km} e v=\dfrac{2\sqrt{6}}{7}\,c:
\Delta t'=-\dfrac{7}{5}\cdot\dfrac{\dfrac{2\sqrt{6}}{7}\,c\cdot 5\\ \text{km}}{c^{2}} =-\dfrac{7}{5}\cdot\dfrac{2\sqrt{6}}{7}\cdot\dfrac{c\cdot5\\ \text{km}}{c^{2}} =-2\sqrt{6}\,\dfrac{1\\ \text{km}}{c}.
Isso é correto porque o fator 5\\ \text{km} cancela com o 1/5 presente em \gamma, e sobra uma unidade de comprimento (1 km) dividida por c (que tem unidade km/s), resultando em segundos.
Agora valor numérico: \,2\sqrt{6}\approx 4{,}898979486 e c\approx 299792{,}458\\ \text{km/s}. Assim
\Delta t'\approx -\dfrac{4{,}898979486}{299792{,}458}\\ \text{s}\approx -1{,}63\times10^{-5}\\ \text{s}.
Em unidades mais intuitivas,
\Delta t'\approx -16{,}3\\ \mu\text{s}.

Passo 6

Interpretação física do sinal e checagem rápida:
  • O sinal negativo em \Delta t' significa que, no sistema S', a ordem temporal dos dois eventos é invertida em relação a uma enumeração que tomássemos em S (ou seja, um dos eventos acontece antes do outro em S'). Isso não é paradoxal: eventos separados espacialmente e simultâneos num referencial não são simultâneos em outro referencial que se move relativamente a ele.
  • Verificação de consistência: como \Delta y' é maior que \Delta y e \gamma>1, faz sentido que a relação \Delta y'=\gamma\Delta y \gamma=1{,}4. Resultados numéricos estão nas ordens de grandeza esperadas (velocidade próxima de 0{,}7c, diferença de tempo da ordem de 10^{-5}) s para separações de poucos km).

Resposta

v=\dfrac{2\sqrt{6}}{7}\,c\approx0{,}69985\,c\approx2{,}10\times10^{5}\\ \text{km/s}\n
\Delta t'\approx-1{,}63\times10^{-5}\\ \text{s}\approx-16{,}3\\ \mu\text{s}

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