Um longo pedaço de fio com massa de 0,100 kg e comprimento total de 4,00 m é usado para fazer uma bobina quadrada com 0,100 m de lado. A bobina é articulada ao longo de um lado horizontal, conduz uma corrente de 3,40 A e é colocada em um campo magnético vertical com magnitude de 0,0100 T. (a) Determine o ângulo que o plano da bobina faz com a vertical quando a bobina está em equilíbrio.

Passo 1

Beleza, vamos resumir: a gente tem um fio de massa m = 0,100 kg e comprimento total L = 4,00 m que foi dobrado numa bobina quadrada de lado a = 0,100 m. A bobina gira em torno de um eixo que é um dos lados horizontais, passa corrente I = 3,40 A e fica num campo magnético vertical B = 0,0100 T.
Conteúdo: torque magnético e torque da gravidade em equilíbrio rotacional.
O que precisamos:
  1. calcular o torque que o campo magnético faz na bobina;
  2. calcular o torque do peso;
  3. igualar os dois (equilíbrio) e achar o ângulo θ entre o plano da bobina e a vertical.

Passo 2

Primeiro, a área da bobina é
A = a^2 = (0,100, m)^2 = 0,0100, m^2
O momento magnético da bobina é
mu = I,A = 3,40, A times 0,0100, m^2 = 0,0340, A·m^2

Passo 3

Torque magnético: em geral taurm mag = mu,Bsinphi,
onde φ é o ângulo entre o vetor normal da bobina e B.
Se o plano da bobina faz ângulo θ com a vertical, o normal faz ângulo φ = 90°−θ com B (porque B é vertical).
Logo
taurm mag = mu,B,sin(90°-theta) = mu,Bcostheta = I,A,Bcostheta

Passo 4

Torque da gravidade: o peso mg age no centro da bobina e quer girar ela pra ficar “pendurada”.
A distância vertical do eixo até o centro não dá torque, mas a componente horizontal sim.
Se o plano está inclinado de θ, o centro de massa desloca-se horizontalmente
d = tfraca2sintheta
Então
taurm grav = força times braço = m g,d = m g,a2,sinthetaçç

Passo 5

Em equilíbrio os torques têm mesma magnitude:
I,A,Bcostheta = m g,a2,sintheta
Reorganizando:
sinthetacostheta = tantheta = 2,I,A,Bm g,a
Como A=a^2, isso vira
tantheta = 2,I,a^2,Bm g,a = 2,I,a,Bm g
Substituindo números:
tantheta = 2cdot3,40cdot0,100cdot0,01000,100cdot9,8approx0,00694
Logo
theta = arctan(0,00694)approx0,3978^circapprox0,40^circ

Resposta

O plano da bobina faz, em equilíbrio, um ângulo de aproximadamente 0,40° com a vertical.

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