Um longo solenoide de raio
é acionado por uma corrente dada por
, onde
é uma constante. Uma espira circular de raio
e resistência
é colocada no centro do solenoide, disposta coxialmente. Encontre a corrente induzida na espira como função do tempo.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (peguei tudo do enunciado):
- Solenoide longo de raio
. - Corrente no solenoide:
, com . - Uma espira circular de raio
e resistência está colocada no centro do solenoide, coaxialmente.
O enunciado pede: encontrar a corrente induzida na espira como função do tempo.
Observações úteis que vou usar (introduzo símbolos necessários):
- Vou chamar
o número de espiras do solenoide por unidade de comprimento (ou seja, ). -
é a permeabilidade do vácuo. - Assumo o modelo de solenoide longo ideal (campo magnético uniforme no interior e desprezível no exterior) e desprezo a autoindutância dinâmica da espira para poder usar
.
Passo 2
Campo magnético dentro de um solenoide longo (fórmula e explicação).
- Para um solenoide longo e ideal, o campo magnético interno é praticamente uniforme e dado por
onde
é o número de espiras por unidade de comprimento,
é a permeabilidade do vácuo e
é o eixo do solenoide.
- Aqui
é a corrente que o solenoide carrega no instante . A justificativa física simples: cada volta gera um pequeno campo; somando muitas voltas por unidade de comprimento chega-se a . - Substituindo a corrente fornecida:
Passo 3
Fluxo magnético pela espira (definição e cálculo).
- Definição: o fluxo magnético através de uma superfície
é . Se é uniforme e paralelo à normal da superfície, . - Como a espira está coaxial e com raio
, ela está inteiramente dentro da região de campo uniforme do solenoide (já que ). Então podemos tomar constante sobre a área da espira. - Área da espira:
- Fluxo pela espira no tempo
:
Passo 4
Lei de Faraday e interpretação física (fórmula e o que significa).
- A lei de Faraday diz que a fem induzida (força eletromotriz) na espira é igual a menos a variação temporal do fluxo:
- O sinal negativo é a manifestação de Lenz: a corrente induzida cria um campo que se opõe à mudança do fluxo original (tenta manter o fluxo).
Passo 5
Cálculo da fem induzida (derivadas passo a passo).
- Primeiro calcule a derivada de
:
- Derivando o fluxo:
- Aplicando Faraday:
- Observação: a fem obtida é positiva no sentido que tomei para a corrente induzida; o sinal físico de sentido será tratado pela lei de Lenz abaixo.
Passo 6
Corrente induzida pela lei de Ohm e resultado final (fórmula e simplificação).
- Para a espira com resistência
, a corrente induzida obedece à lei de Ohm:
- Substituindo
:
- Colocando em forma compacta:
Passo 7
Sentido da corrente induzida (explicação por Lenz, sem ambiguidade de orientação espacial).
- O sentido da corrente induzida é tal que o campo magnético que ela cria tende a compensar a redução do campo do solenoide. Como
do solenoide decai (o campo diminui), a espira gera um campo no mesmo sentido do campo original do solenoide para tentar mantê‑lo. Assim, a corrente induzida circula no sentido que produz esse campo que mantém o fluxo. (Se for necessário indicar “horário” ou “anti‑horário”, escolhe‑se o ponto de vista ao longo do eixo do solenoide e aplica‑se a regra da mão direita.)
Passo 8
Observações finais sobre hipóteses e limites de validade (para prova).
- Usei o modelo de solenoide longo (campo interno uniforme
e externo desprezível). - Desprezei a autoindutância da espira; se a espira tivesse autoindutância
relevante, a equação para a corrente seria diferencial e envolveria , tornando a resposta mais complexa. Em exercícios elementares essa contribuição costuma ser desprezada ou dada como desprezível.