Um longo solenoide de raio a é acionado por uma corrente dada por I(t)=I_{0} e^{-\alpha t}, onde \alpha é uma constante. Uma espira circular de raio a / 2 e resistência R é colocada no centro do solenoide, disposta coxialmente. Encontre a corrente induzida na espira como função do tempo.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei tudo do enunciado):
  • Solenoide longo de raio a.
  • Corrente no solenoide: I(t)=I_{0}e^{-\alpha t}, com \alpha>0.
  • Uma espira circular de raio a/2 e resistência R está colocada no centro do solenoide, coaxialmente.
    O enunciado pede: encontrar a corrente induzida na espira como função do tempo.
Observações úteis que vou usar (introduzo símbolos necessários):
  • Vou chamar n o número de espiras do solenoide por unidade de comprimento (ou seja, n=N/L).
  • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo.
  • Assumo o modelo de solenoide longo ideal (campo magnético uniforme no interior e desprezível no exterior) e desprezo a autoindutância dinâmica da espira para poder usar \mathcal{E}=IR.

Passo 2

Campo magnético dentro de um solenoide longo (fórmula e explicação).
  • Para um solenoide longo e ideal, o campo magnético interno é praticamente uniforme e dado por
\mathbf{B}(t)=\mu_0 n I(t)\,\hat{\mathbf{z}},
onde n é o número de espiras por unidade de comprimento, \mu_0 é a permeabilidade do vácuo e \hat{\mathbf{z}} é o eixo do solenoide.
  • Aqui I(t) é a corrente que o solenoide carrega no instante t. A justificativa física simples: cada volta gera um pequeno campo; somando muitas voltas por unidade de comprimento chega-se a \mu_0 n I.
  • Substituindo a corrente fornecida:
\mathbf{B}(t)=\mu_0 n I_{0} e^{-\alpha t}\,\hat{\mathbf{z}}.

Passo 3

Fluxo magnético pela espira (definição e cálculo).
  • Definição: o fluxo magnético através de uma superfície S é \Phi=\int_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}. Se \mathbf{B} é uniforme e paralelo à normal da superfície, \Phi=B\cdot A.
  • Como a espira está coaxial e com raio a/2, ela está inteiramente dentro da região de campo uniforme do solenoide (já que a/2<a). Então podemos tomar B constante sobre a área da espira.
  • Área da espira:
A=\pi\left(\frac{a}{2}\right)^{2}=\frac{\pi a^{2}}{4}.
  • Fluxo pela espira no tempo t:
\Phi(t)=B(t)\,A=\mu_0 n I_{0} e^{-\alpha t}\cdot\frac{\pi a^{2}}{4}.

Passo 4

Lei de Faraday e interpretação física (fórmula e o que significa).
  • A lei de Faraday diz que a fem induzida (força eletromotriz) na espira é igual a menos a variação temporal do fluxo:
\mathcal{E}(t)=-\frac{d\Phi}{dt}.
  • O sinal negativo é a manifestação de Lenz: a corrente induzida cria um campo que se opõe à mudança do fluxo original (tenta manter o fluxo).

Passo 5

Cálculo da fem induzida (derivadas passo a passo).
  • Primeiro calcule a derivada de I(t):
\frac{dI}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(I_{0}e^{-\alpha t}\bigr)=-\alpha I_{0}e^{-\alpha t}=-\alpha I(t).
  • Derivando o fluxo:
\frac{d\Phi}{dt}=\frac{\pi a^{2}}{4}\,\mu_0 n\,\frac{dI}{dt} =\frac{\pi a^{2}}{4}\,\mu_0 n\,\bigl(-\alpha I_{0}e^{-\alpha t}\bigr).
  • Aplicando Faraday:
\mathcal{E}(t)=-\frac{d\Phi}{dt} =-\left[\frac{\pi a^{2}}{4}\,\mu_0 n\,(-\alpha I_{0}e^{-\alpha t})\right] =\frac{\pi a^{2}}{4}\,\mu_0 n\,\alpha I_{0}e^{-\alpha t}.
  • Observação: a fem obtida é positiva no sentido que tomei para a corrente induzida; o sinal físico de sentido será tratado pela lei de Lenz abaixo.

Passo 6

Corrente induzida pela lei de Ohm e resultado final (fórmula e simplificação).
  • Para a espira com resistência R, a corrente induzida obedece à lei de Ohm:
I_{\mathrm{ind}}(t)=\frac{\mathcal{E}(t)}{R}.
  • Substituindo \mathcal{E}(t):
I_{\mathrm{ind}}(t)=\frac{1}{R}\cdot\frac{\pi a^{2}}{4}\,\mu_0 n\,\alpha I_{0}e^{-\alpha t}.
  • Colocando em forma compacta:
I_{\mathrm{ind}}(t)=\frac{\mu_0 n \pi a^{2}\,\alpha I_{0}}{4R}\;e^{-\alpha t}.

Passo 7

Sentido da corrente induzida (explicação por Lenz, sem ambiguidade de orientação espacial).
  • O sentido da corrente induzida é tal que o campo magnético que ela cria tende a compensar a redução do campo do solenoide. Como I(t) do solenoide decai (o campo diminui), a espira gera um campo no mesmo sentido do campo original do solenoide para tentar mantê‑lo. Assim, a corrente induzida circula no sentido que produz esse campo que mantém o fluxo. (Se for necessário indicar “horário” ou “anti‑horário”, escolhe‑se o ponto de vista ao longo do eixo do solenoide e aplica‑se a regra da mão direita.)

Passo 8

Observações finais sobre hipóteses e limites de validade (para prova).
  • Usei o modelo de solenoide longo (campo interno uniforme \mu_0 n I e externo desprezível).
  • Desprezei a autoindutância da espira; se a espira tivesse autoindutância L relevante, a equação para a corrente seria diferencial e envolveria L\,dI_{\mathrm{ind}}/dt+R I_{\mathrm{ind}}=\mathcal{E}(t), tornando a resposta mais complexa. Em exercícios elementares essa contribuição costuma ser desprezada ou dada como desprezível.

Resposta

I_{\mathrm{ind}}(t)=\frac{\mu_0 n \pi a^{2}\,\alpha I_{0}}{4R}\;e^{-\alpha t}.

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