Em um longo tubo circular, com raios interno e externo
e
, respectivamente, temperaturas uniformes T1 e T2 são mantidas em suas superfícies interna e externa, enquanto geração de energia térmica ocorre no interior de sua parede (
). Considere condições de regime estacionário, nas quais
. É possível manter uma distribuição radial de temperaturas linear no interior da parede? Caso afirmativo, que condições especiais devem existir?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos um tubo longo, com raio interno
e externo
. Na superfície interna a temperatura é fixa em
, e na externa em
, rolando geração interna de calor em toda a espessura do tubo (
). Estamos em regime estacionário (
) e ainda foi dado que
. A pergunta: “é possível fazer a temperatura variar de forma linear com
(isto é,
) dentro da parede? Se sim, sob que condições especiais isso rola?”
Conteúdo: condução de calor em coordenadas cilíndricas com geração volumétrica. Vamos precisar montar a equação diferencial de Laplace/Poisson em regime estacionário e ver se um perfil linear é solução — e se for, que restrição isso impõe.
Conteúdo: condução de calor em coordenadas cilíndricas com geração volumétrica. Vamos precisar montar a equação diferencial de Laplace/Poisson em regime estacionário e ver se um perfil linear é solução — e se for, que restrição isso impõe.
Passo 2
Escrevendo a equação de condução em regime estacionário e sem dependência angular nem axial, temos em coordenadas cilíndricas:
Aqui:
-
é a temperatura radial, -
é condutividade térmica (assumimos, por enquanto, constante), -
é a geração de calor volumétrica (pode depender de ).
Esse é o ponto de partida: a equação de Poisson cilíndrica em regime estacionário.
Passo 3
Agora, a gente supõe que a solução seja linear:
onde
e
são constantes a determinar. Primeiro computamos as derivadas:
Passo 4
Plugando no termo
:
Logo a equação vira
Isso significa que, para
ser exatamente solução, a geração volumétrica não pode ser constante — ela tem que variar com o raio como
Ou seja,
.
Resposta
Sim, dá para ter distribuição linear de temperatura radial, mas sob a condição especial de que a taxa de geração volumétrica de calor seja inversamente proporcional ao raio, isto é,
Sem essa “receita” de
, um perfil linear não satisfaz a equação de condução em regime estacionário cilindríco.