Em um longo tubo circular, com raios interno e externo r1 e r2, respectivamente, temperaturas uniformes T1 e T2 são mantidas em suas superfícies interna e externa, enquanto geração de energia térmica ocorre no interior de sua parede ( r1 ). Considere condições de regime estacionário, nas quais T 1. É possível manter uma distribuição radial de temperaturas linear no interior da parede? Caso afirmativo, que condições especiais devem existir?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos um tubo longo, com raio interno e externo . Na superfície interna a temperatura é fixa em , e na externa em , rolando geração interna de calor em toda a espessura do tubo ( ). Estamos em regime estacionário ( ) e ainda foi dado que . A pergunta: “é possível fazer a temperatura variar de forma linear com (isto é, ) dentro da parede? Se sim, sob que condições especiais isso rola?”
Conteúdo: condução de calor em coordenadas cilíndricas com geração volumétrica. Vamos precisar montar a equação diferencial de Laplace/Pois­­son em regime estacionário e ver se um perfil linear é solução — e se for, que restrição isso impõe.

Passo 2

Escrevendo a equação de condução em regime estacionário e sem dependência angular nem axial, temos em coordenadas cilíndricas:
1r,ddr!l(r,dTdrr);+;dot q(r)k;=;0
Aqui:
  • é a temperatura radial,
  • é condutividade térmica (assumimos, por enquanto, constante),
  • é a geração de calor volumétrica (pode depender de ).
Esse é o ponto de partida: a equação de Poisson cilíndrica em regime estacionário.

Passo 3

Agora, a gente supõe que a solução seja linear:
T(r)=A,r+B,
onde dTdr=A, d^2Tdr^2=0 e são constantes a determinar. Primeiro computamos as derivadas:

Passo 4

Plugando no termo 1rddrl(r,Ar) =1r,l(A + rcdot 0r) =Ar :
Ar+dot q(r)k=0 Longrightarrow dot q(r)=-,k,Ar
Logo a equação vira
boxeddot q(r);=;-,k,Ar,
Isso significa que, para ser exatamente solução, a geração volumétrica não pode ser constante — ela tem que variar com o raio como
Ou seja, .

Resposta

Sim, dá para ter distribuição linear de temperatura radial, mas sob a condição especial de que a taxa de geração volumétrica de calor seja inversamente proporcional ao raio, isto é,
dot q(r)=-,k,Ar l(dot qpropto1/rr)
Sem essa “receita” de , um perfil linear não satisfaz a equação de condução em regime estacionário cilindríco.

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