Água ( rho=1000 kg / m^3) e viscosidade de 1,002 cP (Poise =g / cm s) escoa em regime turbulento em um tubo de 2 in ( 1 in=2,54 cm) de diâmetro e 10 m de comprimento, sob a ação de uma queda de pressão de 1,5 atm. Calcule:
A distância radial a partir da qual a velocidade do fluido será de 50 % da velocidade máxima.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos água (ρ=1000 kg/m³, μ≈1,002 cP) escoando de forma turbulenta num tubo de 2 in de diâmetro (ou seja, raio R=1 in) e comprimento 10 m, com uma queda de pressão de 1,5 atm ao longo desse tubo.
Conteúdo: perfil de velocidade em escoamento turbulento em tubo (lei do 1/7).
O que vamos precisar: a fórmula empírica do perfil de velocidades turbulento (lei-potência) e a conversão de polegadas para metros.

Passo 2

Na teoria de escoamentos turbulentos completamente desenvolvidos, a variação radial da velocidade segue bem a chamada “lei do 1/7”, que diz:
u(r)Umax = l(1 - rRr)^1/7,
onde
- é a velocidade a uma distância do eixo,
- é a velocidade no centro (r=0),
- é o raio do tubo.

Passo 3

O exercício pede a distância radial u(r)Umax = 0,5 = l(1 - rRr)^1/7 tal que valha 50% de .
Então usamos

Passo 4

Desempacotando a equação:
  1. Elevar ambos os lados à 7ª potência:
(0,5)^7 = 1 - rR Longrightarrow 1 - rR = 1128
  1. Isolar rR = 1 - 1128 = 127128 :

Passo 5

Agora convertemos o raio do tubo:
r = R cdot 127128 = 0,0254,m times 0,9921875 approx 0,0252,m
Então

Resposta

A uma distância radial de aproximadamente 0,0252 m (2,52 cm) do centro do tubo a velocidade já cai para 50% da velocidade máxima.

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