En los ejercicios 2-12, calcule la integral de superficie de la función rho: U subseteq R^3 R dada sobre la superficie indicada
p(x, y, z)=x, sobre K=(x, y ; z) mid x^2+y^2+z^2=1, x >= 0, z >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície da função rho(x, y, z) = x sobre a superfície K, que é parte da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1 onde x >= 0 e z >= 0. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente integrais de superfície. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície K. Ela é a parte da esfera de raio 1 (porque x^2 + y^2 + z^2 = 1) onde x e z são não negativos. Isso significa que estamos olhando para o “quadrante” onde x e z são positivos, ou seja, uma porção específica da esfera. Visualizando, é como uma “fatia” da esfera.

Passo 3

Agora, para calcular a integral de superfície integral duplaK x , dS, precisamos parametrizar a superfície K. A parametrização mais fácil para uma esfera é usando coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto na esfera pode ser representado como:
x = sin phi cos theta y = sin phi sin theta z = cos phi
onde phi é o ângulo polar (0 a pi) e theta é o ângulo azimutal (0 a 2pi).

Passo 4

Vamos determinar os limites de phi e theta para a nossa superfície K. Como x >= 0, temos que cos theta >= 0, o que significa que theta varia de -pi2 a pi2. Porém, para simplificar, podemos considerar theta de 0 a pi/2 (como estamos na esfera, esses limites cobrem o primeiro quadrante onde x e z são positivos).
Para z >= 0, phi varia de 0 a pi2.

Passo 5

A próxima etapa é expressar dS na parametrização esférica. Para uma esfera de raio 1, o elemento de área é dado por:
dS = sin phi , dphi , dtheta
Então, nossa integral fica:
integral duplaK x , dS = integral0^pi/2 integral0^pi/2 (sin phi cos theta) cdot sin phi , dtheta , dphi

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
x cdot dS = sin phi cos theta cdot sin phi , dphi , dtheta = sin^2 phi cos theta , dphi , dtheta
Então, a integral fica:
integral0^pi/2 integral0^pi/2 sin^2 phi cos theta , dtheta , dphi

Passo 7

Vamos resolver a integral em theta primeiro:
integral0^pi/2 cos theta , dtheta = sin theta |0^pi/2 = sin (pi2) - sin(0) = 1 - 0 = 1
Agora, nossa integral simplifica para:
integral0^pi/2 sin^2 phi cdot 1 , dphi = integral0^pi/2 sin^2 phi , dphi

Passo 8

Para resolver integral sin^2 phi , dphi, usamos uma identidade trigonométrica para facilitar:
sin^2 phi = 1 - cos(2phi)2
Então, a integral se torna:
integral0^pi/2 1 - cos(2phi)2 , dphi = 12 integral0^pi/2 (1 - cos(2phi)) , dphi

Passo 9

Vamos integrar termo a termo:
12 [ integral0^pi/2 1 , dphi - integral0^pi/2 cos(2phi) , dphi ]
Calculando cada integral:
integral0^pi/2 1 , dphi = phi |0^pi/2 = pi2
integral0^pi/2 cos(2phi) , dphi = sin(2phi)2 |0^pi/2 = sin(pi)2 - sin(0)2 = 0 - 0 = 0
Então, a expressão fica:
12 ( pi2 - 0 ) = pi4

Resposta

A integral de superfície calculada é pi4.

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