En los ejercicios 2-12, calcule la integral de superficie de la función dada sobre la superficie indicada , sobre .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície da função sobre a superfície , que é parte da esfera onde e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente integrais de superfície. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície . Ela é a parte da esfera de raio 1 (porque ) onde e são não negativos. Isso significa que estamos olhando para o “quadrante” onde e são positivos, ou seja, uma porção específica da esfera. Visualizando, é como uma “fatia” da esfera.
Passo 3
Agora, para calcular a integral de superfície , precisamos parametrizar a superfície . A parametrização mais fácil para uma esfera é usando coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto na esfera pode ser representado como:
onde phi é o ângulo polar (0 a pi) e theta é o ângulo azimutal (0 a 2pi).
Passo 4
Vamos determinar os limites de phi e theta para a nossa superfície K. Como x >= 0, temos que cos theta >= 0, o que significa que theta varia de -pi2 a pi2. Porém, para simplificar, podemos considerar theta de 0 a pi/2 (como estamos na esfera, esses limites cobrem o primeiro quadrante onde x e z são positivos).
Para z >= 0, phi varia de 0 a pi2.
Passo 5
A próxima etapa é expressar dS na parametrização esférica. Para uma esfera de raio 1, o elemento de área é dado por:
dS = sin phi , dphi , dtheta
Então, nossa integral fica:
integral duplaK x , dS = integral0^pi/2 integral0^pi/2 (sin phi cos theta) cdot sin phi , dtheta , dphi
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
x cdot dS = sin phi cos theta cdot sin phi , dphi , dtheta = sin^2 phi cos theta , dphi , dtheta
Então, a integral fica:
integral0^pi/2 integral0^pi/2 sin^2 phi cos theta , dtheta , dphi
Passo 7
Vamos resolver a integral em theta primeiro:
integral0^pi/2 cos theta , dtheta = sin theta |0^pi/2 = sin (pi2) - sin(0) = 1 - 0 = 1