Calcule a equação do plano tangente e da reta normal à superfície
, paralelo ao plano de equação
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o ponto da superfície z = 2x² + y² – 3xy onde o plano tangente é paralelo a 10x – 7y – 2z + 5 = 0 e, a partir daí, achar também a reta normal à superfície nesse ponto.
Passo 2
Para superfícies do tipo z = f(x,y), o vetor normal ao plano tangente em (x₀,y₀,z₀) é dado por ∇F = (fₓ(x₀,y₀), fᵧ(x₀,y₀), –1), onde fₓ e fᵧ são as derivadas parciais de f. No nosso caso f(x,y)=2x²+y²–3xy, portanto: fₓ(x,y)=4x–3y e fᵧ(x,y)=2y–3x.
Passo 3
Para que o plano tangente seja paralelo a 10x–7y–2z+5=0, seu vetor normal (fₓ,fᵧ,–1) deve ser proporcional a (10,–7,–2). Ou seja, existe λ tal que: fₓ=10λ, fᵧ=–7λ e –1=–2λ. Da última equação vem λ=½. Então fₓ=5 e fᵧ=–7/2.
Passo 4
Igualando às expressões de fₓ e fᵧ, temos o sistema: 4x–3y=5 e 2y–3x=–7/2. Resolvendo, obtemos x=1/2 e y=–1. O valor de z na superfície é z=2(¼)+1+3/2=3. Logo o ponto é P(½,–1,3).
Passo 5
Para escrever o plano tangente em P com o mesmo normal (10,–7,–2), usamos a forma pontual: 10(x–½)–7(y+1)–2(z–3)=0. Desenvolvendo, chegamos a:
Passo 6
A reta normal à superfície em P tem direção dada pelo vetor normal ∇F§=(5,–7/2,–1). Podemos também usar (10,–7,–2), que é só o dobro. A forma paramétrica fica:
Resposta
Plano tangente:
Reta normal: