En los ejercicios 2-12, calcule la integral de superficie de la función
dada sobre la superficie indicada
, sobre
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo de integral de superfície. A função que vamos integrar é $ p(x, y, z) = 2x + y $ sobre a superfície $ K $, que é definida por $ x^{2} + y^{2} = 2 $ e $ -1 \leq z \leq 1 $. Isso significa que estamos lidando com um cilindro circular com raio $ \sqrt{2} $ e altura de 2 unidades (de z = -1 a z = 1). Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas cilíndricas e entender como parametrizar a superfície para calcular a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a superfície do cilindro. Nas coordenadas cilíndricas, podemos expressar $ x $ e $ y $ em termos de um ângulo $ \theta $:
O $ z $ continua variando de -1 a 1. Então, nossos parâmetros são $ \theta $ e $ z $, onde $ \theta $ vai de 0 a $ 2\pi $ para cobrir toda a volta do cilindro.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o elemento de área $ dS $ na superfície do cilindro. Para um cilindro vertical, o elemento de área pode ser expresso como:
onde $ r = \sqrt{2} $ é o raio do cilindro. Então:
Passo 4
Vamos agora substituir $ x $, $ y $ e $ dS $ na integral de superfície:
Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a $ \theta $:
Isso acontece porque as funções seno e cosseno têm média zero em um ciclo completo de $ 0 $ a $ 2\pi $.
Passo 7
Como ambas as integrais internas são zero, a integral total também será zero:
Resposta
A integral de superfície é igual a 0.