En los ejercicios 2-12, calcule la integral de superficie de la función rho: U subseteq R^3 R dada sobre la superficie indicada
p(x, y, z)=2 x+y, sobre K=(x, y, z) mid x^2+y^2=2,-1 <= z <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo de integral de superfície. A função que vamos integrar é $ p(x, y, z) = 2x + y $ sobre a superfície $ K $, que é definida por $ x^{2} + y^{2} = 2 $ e $ -1 \leq z \leq 1 $. Isso significa que estamos lidando com um cilindro circular com raio $ \sqrt{2} $ e altura de 2 unidades (de z = -1 a z = 1). Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas cilíndricas e entender como parametrizar a superfície para calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a superfície do cilindro. Nas coordenadas cilíndricas, podemos expressar $ x $ e $ y $ em termos de um ângulo $ \theta $:
x
y
O $ z $ continua variando de -1 a 1. Então, nossos parâmetros são $ \theta $ e $ z $, onde $ \theta $ vai de 0 a $ 2\pi $ para cobrir toda a volta do cilindro.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o elemento de área $ dS $ na superfície do cilindro. Para um cilindro vertical, o elemento de área pode ser expresso como:
dS
onde $ r = \sqrt{2} $ é o raio do cilindro. Então:
dS = r , dtheta , dz

Passo 4

Vamos agora substituir $ x $, $ y $ e $ dS $ na integral de superfície:
x
Substituindo os valores:
y

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
2 raiz2 cos theta cdot raiz2 = 4 cos theta
raiz2 sin theta cdot raiz2 = 2 sin theta
Então, a integral fica:
integral-1^1 integral0^2pi (4 cos theta + 2 sin theta) , dtheta , dz

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a $ \theta $:
theta
integral0^2pi 4 cos theta , dtheta = 0
Isso acontece porque as funções seno e cosseno têm média zero em um ciclo completo de $ 0 $ a $ 2\pi $.

Passo 7

Como ambas as integrais internas são zero, a integral total também será zero:
integral-1^1 0 , dz = 0

Resposta

A integral de superfície é igual a 0.

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