Encontre o conjunto fundamental de soluções
para a equação diferencial
que satisfaçam as condições
Escolha uma opção:
e
que satisfaçam as condições
Passo 1
O enunciado pede as soluções de uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, que no nosso caso é
, e devemos escolher duas soluções
e
que formem um conjunto fundamental (linearmente independentes) e satisfaçam condições em
.
Passo 2
A equação característica associada é
que fatoriza em
logo as raízes são
e
. Então a solução geral é
$$y(t) = C_1 e^{-2t} + C_2 e^{-3t}.
$$
Passo 3
Para obter
, impomos
e
. Escrevendo
$$\begin{cases}A e^{-2} + B e^{-3} = 1,\-2A e^{-2} - 3B e^{-3} = 0.
\end{cases}
A = 3 e^2,\quad B = -2 e^3.
$$
Passo 4
Para obter
, impomos
e
. Escrevendo
$$\begin{cases}A e^{-2} + B e^{-3} = 0,\-2A e^{-2} - 3B e^{-3} = 1.
\end{cases}
A = e^2,\quad B = -e^3.
$$
Resposta
y_{1}(t)=3e{-2(t-1)}-2e{-3(t-1)} e y_{2}(t)=e{-2(t-1)}-e{-3(t-1)}