Encontre o conjunto fundamental de soluções y1, y2 para a equação diferencial y^prime prime+5 y^prime+6 y=0
que satisfaçam as condições
l l y1(1)=1 y1^prime(1)=0 e l y2(1)=0 y2^prime(1)=1
Escolha uma opção:
y1(t)=2 e^-(t-1)-e^-2(t-1) e y2(t)=e^-(t-1)-e^-2(t-1)

Passo 1

O enunciado pede as soluções de uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, que no nosso caso é y'' + 5y' + 6y = 0, e devemos escolher duas soluções y1 e y2 que formem um conjunto fundamental (linearmente independentes) e satisfaçam condições em t=1.

Passo 2

A equação característica associada é
r^2 + 5r + 6 = 0,
que fatoriza em
(r + 2)(r + 3) = 0,
logo as raízes são r = -2 e r = -3. Então a solução geral é
$$y(t) = C_1 e^{-2t} + C_2 e^{-3t}.
$$

Passo 3

Para obter y1, impomos y1(1)=1 e y1'(1)=0. Escrevendo
y1(t)=A e^-2t + B e^-3t,temos em t=1:
$$\begin{cases}A e^{-2} + B e^{-3} = 1,\-2A e^{-2} - 3B e^{-3} = 0.
\end{cases} A e^-2 + B e^-3 = 1,-2A e^-2 - 3B e^-3 = 0 A = 3 e^2,\quad B = -2 e^3.
A = 3 e^2, B = -2 e^3 y_1(t) = 3e^2 e^{-2t} - 2e^3 e^{-3t} = 3e^{-2(t-1)} - 2e^{-3(t-1)}.
$$

Passo 4

Para obter y2, impomos y2(1)=0 e y2'(1)=1. Escrevendo
y2(t)=A e^-2t + B e^-3t,temos em t=1:
$$\begin{cases}A e^{-2} + B e^{-3} = 0,\-2A e^{-2} - 3B e^{-3} = 1.
\end{cases} A e^-2 + B e^-3 = 0,-2A e^-2 - 3B e^-3 = 1 A = e^2,\quad B = -e^3.
A = e^2, B = -e^3 y_2(t) = e^2 e^{-2t} - e^3 e^{-3t} = e^{-2(t-1)} - e^{-3(t-1)}.
$$

Resposta

y_{1}(t)=3e{-2(t-1)}-2e{-3(t-1)} e y_{2}(t)=e{-2(t-1)}-e{-3(t-1)}

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