En los ejercicios 14-21, determine el centro de masa de los cuerpos homogéneos limitados por las superficies indicadas.
x^2+y^2+z^2=1, y >= 0, z >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o centro de massa de um corpo homogêneo que está limitado pela superfície da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1, com as condições adicionais de que y >= 0 e z >= 0. Isso significa que estamos olhando para uma parte específica da esfera onde os valores de y e z são positivos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria e cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como encontrar o centro de massa de um corpo tridimensional. Para um corpo homogêneo (com densidade constante), as coordenadas do centro de massa (x, y, z) são dadas por:
x = integralV x , dV integralV dV, y = integralV y , dV integralV dV, z = integralV z , dV integralV dV
Aqui, V representa o volume do corpo. Esse cálculo vai nos dar a média ponderada das coordenadas x, y e z dentro do volume.

Passo 3

Agora, vamos analisar a simetria do problema para simplificar os cálculos. Observando que a região está limitada por y >= 0 e z >= 0, percebe-se que há simetria em relação ao eixo x. Ou seja, para cada ponto com coordenada x positiva, existe um ponto correspondente com coordenada x negativa. Devido a essa simetria, a coordenada x do centro de massa será zero, já que as contribuições positivas e negativas se cancelam.

Passo 4

Focando nas coordenadas y e z, notamos que, pela simetria do problema, elas são iguais. Isso porque as restrições y >= 0 e z >= 0 são similares em relação aos eixos. Portanto, basta calcular uma delas para determinar ambas. Vamos calcular y.

Passo 5

Para calcular y, vamos usar coordenadas esféricas, que são mais convenientes para trabalhar com esferas. Nas coordenadas esféricas, um ponto no espaço é definido por (r, theta, phi), onde:
  • r é a distância do ponto à origem,
  • theta é o ângulo polar (em relação ao eixo z),
  • phi é o ângulo azimutal (em relação ao eixo x).
As relações entre as coordenadas cartesianas e esféricas são:
x = r sintheta cosphi, y = r sintheta sinphi, z = r costheta
O elemento de volume em coordenadas esféricas é:
dV = r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi
Como estamos trabalhando com a esfera de raio 1, r varia de 0 a 1. As restrições y >= 0 e z >= 0 impõem que phi varie de 0 a pi2 e theta de 0 a pi.
Então, a coordenada y será:
y = integral0^1 integral0^pi integral0^pi2 r sintheta sinphi cdot r^2 sintheta , dphi , dtheta , dr integral0^1 integral0^pi integral0^pi2 r^2 sintheta , dphi , dtheta , dr

Passo 6

Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente.
Numerador:
integral0^1 r^3 dr cdot integral0^pi sin^2theta , dtheta cdot integral0^pi2 sinphi , dphi
Calculando cada integral:
  • integral0^1 r^3 dr = 14
  • integral0^pi sin^2theta , dtheta = pi2
  • integral0^pi2 sinphi , dphi = 1
Multiplicando:
14 cdot pi2 cdot 1 = pi8
Denominador:
integral0^1 r^2 dr cdot integral0^pi sintheta , dtheta cdot integral0^pi2 dphi
Calculando cada integral:
  • integral0^1 r^2 dr = 13
  • integral0^pi sintheta , dtheta = 2
  • integral0^pi2 dphi = pi2
Multiplicando:
13 cdot 2 cdot pi2 = pi3
Portanto, a coordenada y é:
y = pi8pi3 = 38
E, como z = y pela simetria, temos z = 38.

Resposta

O centro de massa do corpo é dado por (x, y, z) = (0, dfrac38, dfrac38).

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