En los ejercicios , determine el centro de masa de los cuerpos homogéneos limitados por las superficies indicadas. .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o centro de massa de um corpo homogêneo que está limitado pela superfície da esfera , com as condições adicionais de que e . Isso significa que estamos olhando para uma parte específica da esfera onde os valores de e são positivos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria e cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como encontrar o centro de massa de um corpo tridimensional. Para um corpo homogêneo (com densidade constante), as coordenadas do centro de massa são dadas por:
x = integralV x , dV integralV dV, y = integralV y , dV integralV dV, z = integralV z , dV integralV dV
Aqui, V representa o volume do corpo. Esse cálculo vai nos dar a média ponderada das coordenadas x, y e z dentro do volume.
Passo 3
Agora, vamos analisar a simetria do problema para simplificar os cálculos. Observando que a região está limitada por y >= 0 e z >= 0, percebe-se que há simetria em relação ao eixo x. Ou seja, para cada ponto com coordenada x positiva, existe um ponto correspondente com coordenada x negativa. Devido a essa simetria, a coordenada x do centro de massa será zero, já que as contribuições positivas e negativas se cancelam.
Passo 4
Focando nas coordenadas y e z, notamos que, pela simetria do problema, elas são iguais. Isso porque as restrições y >= 0 e z >= 0 são similares em relação aos eixos. Portanto, basta calcular uma delas para determinar ambas. Vamos calcular y.
Passo 5
Para calcular y, vamos usar coordenadas esféricas, que são mais convenientes para trabalhar com esferas. Nas coordenadas esféricas, um ponto no espaço é definido por (r, theta, phi), onde:
r é a distância do ponto à origem,
theta é o ângulo polar (em relação ao eixo z),
phi é o ângulo azimutal (em relação ao eixo x).
As relações entre as coordenadas cartesianas e esféricas são:
x = r sintheta cosphi, y = r sintheta sinphi, z = r costheta
O elemento de volume em coordenadas esféricas é:
dV = r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi
Como estamos trabalhando com a esfera de raio 1, r varia de 0 a 1. As restrições y >= 0 e z >= 0 impõem que phi varie de 0 a pi2 e theta de 0 a pi.
Então, a coordenada y será:
y = integral0^1 integral0^pi integral0^pi2 r sintheta sinphi cdot r^2 sintheta , dphi , dtheta , dr integral0^1 integral0^pi integral0^pi2 r^2 sintheta , dphi , dtheta , dr
Passo 6
Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente.