En los ejercicios 14-21, determine el centro de masa de los cuerpos homogéneos limitados por las superficies indicadas.
z^2=x^2+y^2, x^2+y^2+z^2=1, z >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o centro de massa de um corpo homogêneo delimitado por duas superfícies: um cone dado por $ z^{2} = x^{2} + y^{2} $ e uma esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 $, considerando apenas a parte onde $ z \geq 0 $. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral, aproveitando a simetria do problema e talvez mudar para coordenadas esféricas para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na simetria do problema. Como as superfícies são simétricas em relação ao eixo $ z $, o centro de massa também estará alinhado com esse eixo. Isso significa que as coordenadas $ x_{cm} $ e $ y_{cm} $ serão iguais a zero. Portanto, só precisamos encontrar a coordenada $ z_{cm} $.

Passo 3

Agora, vamos focar em encontrar $ z_{cm} $. A fórmula para o centro de massa na direção $ z $ é:
zcm
Aqui, $ dV $ representa um elemento de volume. Para calcular essas integrais, é mais fácil usar coordenadas esféricas devido à forma das superfícies que delimitam o corpo.

Passo 4

Vamos converter para coordenadas esféricas. As relações são:
x = r sintheta cosphi y = r sintheta sinphi z = r costheta
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
dV = r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi
Agora, precisamos determinar os limites de integração. A esfera tem raio 1, então $ r $ vai de 0 a 1. O cone $ z^{2} = x^{2} + y^{2} $ em coordenadas esféricas fica:
r
Então, $ \theta $ varia de 0 a $ \frac{\pi}{4} $ e $ \phi $ varia de 0 a $ 2\pi $.

Passo 5

Vamos calcular as integrais. Primeiro, a integral do volume:
V = integral0^2pi integral0^pi4 integral0^1 r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi
Integrando em $ r $:
r
Então,
integral0^1 r^2 , dr = [ r^33 ]0^1 = 13
Integrando em $ \theta $:
V = 13 integral0^2pi integral0^pi4 sintheta , dtheta , dphi
Agora,
theta
Simplificando,
integral0^pi4 sintheta , dtheta = [ -costheta ]0^pi4 = -cos(pi4) + cos(0) = -raiz22 + 1 = 1 - raiz22
Agora, vamos calcular a integral do numerador $ \int z , dV $:
V = 13 (1 - raiz22) integral0^2pi dphi = 13 (1 - raiz22) cdot 2pi = 2pi3 (1 - raiz22)
Integrando em $ r $:
V = 2pi3 (1 - raiz22) = 2pi3 - piraiz23
Então,
integral z , dV
Integrando em $ \theta $:
integral z , dV = integral0^2pi integral0^pi4 integral0^1 (r costheta) cdot r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi = integral0^2pi integral0^pi4 integral0^1 r^3 costheta sintheta , dr , dtheta , dphi
Agora,
r

Resposta

O centro de massa do corpo homogêneo está localizado no ponto $ (0, 0, z_{cm}) $, onde:
(0, 0, zcm)
Simplificando:
zcm = pi82pi3 - piraiz23 = 1/82/3 - raiz2/3 = 18 cdot 32 - raiz2 = 38(2 - raiz2)
Portanto, o centro de massa é:
zcm = 3(2 + raiz2)8(4 - 2) = 3(2 + raiz2)16 = 3(2 + raiz2)16

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