En los ejercicios
, determine el centro de masa de los cuerpos homogéneos limitados por las superficies indicadas.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o centro de massa de um corpo homogêneo delimitado por duas superfícies: um cone dado por $ z^{2} = x^{2} + y^{2} $ e uma esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 $, considerando apenas a parte onde $ z \geq 0 $. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral, aproveitando a simetria do problema e talvez mudar para coordenadas esféricas para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na simetria do problema. Como as superfícies são simétricas em relação ao eixo $ z $, o centro de massa também estará alinhado com esse eixo. Isso significa que as coordenadas $ x_{cm} $ e $ y_{cm} $ serão iguais a zero. Portanto, só precisamos encontrar a coordenada $ z_{cm} $.
Passo 3
Agora, vamos focar em encontrar $ z_{cm} $. A fórmula para o centro de massa na direção $ z $ é:
Aqui, $ dV $ representa um elemento de volume. Para calcular essas integrais, é mais fácil usar coordenadas esféricas devido à forma das superfícies que delimitam o corpo.
Passo 4
Vamos converter para coordenadas esféricas. As relações são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Agora, precisamos determinar os limites de integração. A esfera tem raio 1, então $ r $ vai de 0 a 1. O cone $ z^{2} = x^{2} + y^{2} $ em coordenadas esféricas fica:
Então, $ \theta $ varia de 0 a $ \frac{\pi}{4} $ e $ \phi $ varia de 0 a $ 2\pi $.
Passo 5
Vamos calcular as integrais. Primeiro, a integral do volume:
Integrando em $ r $:
Então,
Integrando em $ \theta $:
Agora,
Simplificando,
Agora, vamos calcular a integral do numerador $ \int z , dV $:
Integrando em $ r $:
Então,
Integrando em $ \theta $:
Agora,
Resposta
O centro de massa do corpo homogêneo está localizado no ponto $ (0, 0, z_{cm}) $, onde:
Simplificando:
Portanto, o centro de massa é: