En los ejercicios 25-29, determine el valor medio de la función f(x, y, z) dada en la región indicada.
f(x, y, z)=x+y+z, en Omega=(x, y, z) mid x^2+y^2+z^2 <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar o valor médio da função $ f(x, y, z) = x + y + z $ dentro da região f(x, y, z) = x + y + z , que é a esfera unitaria definida por $ x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1 $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral em três dimensões, especificamente a integração sobre volumes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o valor médio de uma função sobre uma região. A fórmula geral é:
Valor médio = 1Volume da região times integral triplaOmega f(x, y, z) , dV éã
Aqui, integral triplaOmega f(x, y, z) , dV representa a integral tripla da função sobre a região Omega, e Volume da regiãoã é simplesmente o volume da esfera unitaria.

Passo 3

Vamos calcular o volume da esfera unitaria primeiro. Sabemos que o volume de uma esfera de raio $ r $ é dado por:
r
No nosso caso, $ r = 1 $, então:
V = 43 pi r^3

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral tripla de $ f(x, y, z) = x + y + z $ sobre f(x, y, z) = x + y + z . Observando a função, percebemos que ela é a soma de $ x $, $ y $ e $ z $. Então, podemos separar a integral:
Omega

Passo 5

Vamos analisar cada uma dessas integrais separadamente. Devido à simetria da esfera unitaria em relação aos eixos $ x $, $ y $ e $ z $, as integrais de $ x $, $ y $ e $ z $ sobre todo o volume da esfera cancelam-se.
Isso significa que:
x

Passo 6

Com isso, a integral tripla da função $ f(x, y, z) $ sobre f(x, y, z) é:
Omega

Passo 7

Finalmente, substituindo na fórmula do valor médio:
Valor médio = 143 pi times 0 = 0 é

Resposta

O valor médio da função $ f(x, y, z) = x + y + z $ na região f(x, y, z) = x + y + z é 0.

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