En los ejercicios 25-29, determine el valor medio de la función
dada en la región indicada.
, en
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar o valor médio da função $ f(x, y, z) = x + y + z $ dentro da região
, que é a esfera unitaria definida por $ x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1 $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral em três dimensões, especificamente a integração sobre volumes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o valor médio de uma função sobre uma região. A fórmula geral é:
Aqui,
representa a integral tripla da função sobre a região
, e
é simplesmente o volume da esfera unitaria.
Passo 3
Vamos calcular o volume da esfera unitaria primeiro. Sabemos que o volume de uma esfera de raio $ r $ é dado por:
No nosso caso, $ r = 1 $, então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral tripla de $ f(x, y, z) = x + y + z $ sobre
. Observando a função, percebemos que ela é a soma de $ x $, $ y $ e $ z $. Então, podemos separar a integral:
Passo 5
Vamos analisar cada uma dessas integrais separadamente. Devido à simetria da esfera unitaria em relação aos eixos $ x $, $ y $ e $ z $, as integrais de $ x $, $ y $ e $ z $ sobre todo o volume da esfera cancelam-se.
Isso significa que:
Passo 6
Com isso, a integral tripla da função $ f(x, y, z) $ sobre
é:
Passo 7
Finalmente, substituindo na fórmula do valor médio:
Resposta
O valor médio da função $ f(x, y, z) = x + y + z $ na região
é 0.