Em um losango de área igual a 30 \mathrm{~cm}^{2}, uma diagonal é 4 cm maior que a outra. Determine o comprimento dos lados do losango.

Passo 1

O enunciado diz que temos um losango cuja área é 30\\ \mathrm{cm}^2 e que uma diagonal é 4\\ \mathrm{cm} maior que a outra. O que precisamos:
  1. A fórmula da área de um losango em função das diagonais
A = \frac{d_1\,d_2}{2}
  1. A relação do lado do losango com as metades das diagonais, via Teorema de Pitágoras.

Passo 2

Seja d_1 a menor diagonal e d_2 a maior. Então podemos escrever
d_2 = d_1 + 4.
Como a área é 30\\ \mathrm{cm}^2, substituímos na fórmula
30 = \frac{d_1\,(d_1 + 4)}{2}.
Multiplicando ambos os lados por 2 fica
d_1\,(d_1 + 4) = 60.

Passo 3

Expandindo e reunindo todos os termos em um lado, obtemos a equação quadrática
d_1^2 + 4d_1 - 60 = 0.
O discriminante é
\Delta = 4^2 - 4\cdot1\cdot(-60) = 16 + 240 = 256,
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d_1 = \frac{-4 \pm \sqrt{256}}{2} = \frac{-4 \pm 16}{2}.
Descartando a raiz negativa, fica d_1 = 6\\ \mathrm{cm}. Assim,
d_2 = d_1 + 4 = 10\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

No losango, as diagonais se cruzam perpendicularmente e se dividem ao meio. Cada lado L forma, com as metades das diagonais, um triângulo retângulo cujos catetos medem \tfrac{d_1}{2} e \tfrac{d_2}{2}. Pelo Teorema de Pitágoras:
L = \sqrt{\bigl(\tfrac{d_1}{2}\bigr)^2 + \bigl(\tfrac{d_2}{2}\bigr)^2} =\sqrt{3^2 + 5^2} =\sqrt{9 + 25} =\sqrt{34}\\ \mathrm{cm}.

Resposta

O lado do losango mede \sqrt{34}\\ \mathrm{cm}.

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