Se lrx+1, & -1 e se f(x+2)=f(x), encontre uma fórmula para f(x) no intervalo 1 e no intervalo 8.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma função pedaçuda (piecewise) definida em dois intervalos de comprimento 1:
  • Para , .
  • Para , .
    E ainda rola uma periodicidade: , ou seja, a cada 2 unidades o gráfico se repete.
    O conteúdo aqui é função periódica e a técnica é “reduzir” o para um desses dois intervalos-base ou .

Passo 2

Como a função se repete a cada 2, se eu quiser saber f(x)=fl(x-2kr) em qualquer intervalo, basta diminuir (ou aumentar) de 2 em 2 até cair em ou . Isso é usar a propriedade
onde é um inteiro escolhido para trazer pro intervalo-base.

Passo 3

  1. Tomo f(x)=fl(x-2r)=(x-2)+1 = x-1 tal que .
  2. Subtraio 2: fica em .
  3. No pedaço , a regra é .
  4. Então

Passo 4

  1. Agora f(x)=fl(x-8r)=x-8 está em .
  2. Perceba que , então subtraio (ou seja, quatro vezes): fica em .
  3. No pedaço , a regra é .
  4. Logo

Resposta

Para : .
Para : .

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