Neste problema, indicamos algumas semelhanças entre vetores geométricos tridimensionais e séries de Fourier.
(a) Sejam v1, v2 e v3 três vetores ortogonais dois a dois em três dimensões, e seja u qualquer vetor tridimensional. Mostre que
u=a1 v1+a2 v2+a3 v3
onde
ai=u cdot vivi cdot vi, i=1,2,3
Mostre que ai pode ser interpretado como sendo a projeção de u na direção de vi dividida pelo comprimento de vi.
(b) Defina o produto interno (u, v) por
(u, v)=integral-L^L u(x) v(x) d x
Sejam
ll phin(x)=cos (n pi x / L), & n=0,1,2, ldots ; psin(x)=sen(n pi x / L), & n=1,2, ldots
Mostre que a Eq. (10) pode ser escrita na forma
(f, phin)=a02(phi0, phin)+summ=1^infty am(phim, phin)+summ=1^infty bm(psim, phin)
© Use a Eq. (v) e a equação correspondente para an=(f, phin)(phin, phin), n=0,1,2, ldots ; bn=(f, psin)(psin, psin), n=1,2, ldots junto com as relações de ortogonalidade para mostrar que
phin
Note a semelhança entre as Eqs. (vi) e a Eq. (ii). As funções e psin v1, v2 têm um papel semelhante ao dos vetores ortogonais v3 e an no espaço tridimensional. Os coeficientes bn e f podem ser interpretados como sendo as projeções da função phin e psin sobre as funções da base -L <= x <= L.
Observe, também, que qualquer vetor tridimensional pode ser expresso como uma combinação linear de três vetores ortogonais dois a dois. De um modo um pouco semelhante, qualquer função suficientemente suave definida em cos (n pi x / L) pode ser expressa como uma combinação linear das funções ortogonais sen(n pi x / L) e , isto é, como uma série de Fourier.

Passo 1

Beleza, o exercício junta duas ideias parecidas:
  • Decompor um vetor tridimensional u numa base ortogonal v1, v2, v3 usando produto interno e projeções.
  • Fazer o mesmo com funções num intervalo [-L,L], usando o produto interno
(u,v)=integral-L^Lu(x),v(x),dx
e as funções ortogonais phin(x)=cos(npi x/L) e psin(x)=sin(npi x/L).
O que vamos precisar:
  1. Entender produto interno e ortogonalidade.
  2. Saber que, em base ortogonal, o coeficiente de projeção é o quociente do produto interno pelo “norma ao quadrado”.
  3. Aplicar isso a vetores (parte a) e a funções (partes b e c).

Passo 2

(a) Vetores ortogonais e projeção
  1. Como viperp vj ( ineq j), eles formam uma base. Logo qualquer u se escreve
u = a1 v1 + a2 v2 + a3 v3
  1. Para achar ai a gente faz produto escalar desse lado com vi:
ucdot vi = a1( v1cdot vi) + a2( v2cdot vi) + a3( v3cdot vi)
Como só vicdot vineq0 (ortogonalidade), sobra
ucdot vi = ai,( vicdot vi) Longrightarrow ai = ucdot vi vicdot vi
  1. Interpretando: ucdot vi é o tamanho da projeção de u em vi vezes o tamanho de vi. Ao dividir por | vi|^2, sobra justamente o comprimento da projeção de u na direção de vi, ajustado pela norma de vi.

Passo 3

(b) Escrita da Eq.(10) em produto interno
A Eq.(10) é a expansão de Fourier
f(x)=a02phi0(x) +summ=1^infty amphim(x) +summ=1^infty bmpsim(x)
Agora fazemos o produto interno (f,phin)=integral-L^L f(x),phin(x),dx. Usando linearidade:
(f,phin) =a02(phi0,phin) +summ=1^infty am(phim,phin) +summ=1^infty bm(psim,phin)
Isso é exatamente o que queríamos mostrar.

Passo 4

© Isolando an e bn
  1. Da ortogonalidade das bases de funções temos
(phim,phin)=0(mneq n), (psim,phin)=0 forall m,n
Então, na equação do passo anterior, quando a gente escolhe um n fixo só sobrevive o termo an(phin,phin). Logo
(f,phin) = an,(phin,phin) Longrightarrow an = (f,phin)(phin,phin), n=0,1,2,dots
  1. Analogamente, pegando (f,psin) e usando
(psim,psin)=0,(mneq n), (phim,psin)=0,
chegamos em
bn = (f,psin)(psin,psin), n=1,2,dots

Resposta

(a) ai= ucdot vi vicdot vi.
(b) (f,phin) =a02(phi0,phin) +summ=1^infty am(phim,phin) +summ=1^infty bm(psim,phin)
© an=(f,phin)(phin,phin), n>=0; bn=(f,psin)(psin,psin), n>=1

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