Neste problema, indicamos algumas semelhanças entre vetores geométricos tridimensionais e séries de Fourier.
(a) Sejam
e
três vetores ortogonais dois a dois em três dimensões, e seja u qualquer vetor tridimensional. Mostre que
onde
Mostre que
pode ser interpretado como sendo a projeção de
na direção de
dividida pelo comprimento de
.
(b) Defina o produto interno
por
Sejam
Mostre que a Eq. (10) pode ser escrita na forma
© Use a Eq. (v) e a equação correspondente para
junto com as relações de ortogonalidade para mostrar que
Note a semelhança entre as Eqs. (vi) e a Eq. (ii). As funções
têm um papel semelhante ao dos vetores ortogonais
e
no espaço tridimensional. Os coeficientes
e
podem ser interpretados como sendo as projeções da função
sobre as funções da base
.
Observe, também, que qualquer vetor tridimensional pode ser expresso como uma combinação linear de três vetores ortogonais dois a dois. De um modo um pouco semelhante, qualquer função suficientemente suave definida em
pode ser expressa como uma combinação linear das funções ortogonais
e
, isto é, como uma série de Fourier.
(a) Sejam
(b) Defina o produto interno
Passo 1
Beleza, o exercício junta duas ideias parecidas:
- Decompor um vetor tridimensional
numa base ortogonal usando produto interno e projeções. - Fazer o mesmo com funções num intervalo
, usando o produto interno
e as funções ortogonais
e
.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Entender produto interno e ortogonalidade.
- Saber que, em base ortogonal, o coeficiente de projeção é o quociente do produto interno pelo “norma ao quadrado”.
- Aplicar isso a vetores (parte a) e a funções (partes b e c).
Passo 2
(a) Vetores ortogonais e projeção
- Como
( ), eles formam uma base. Logo qualquer se escreve
- Para achar
a gente faz produto escalar desse lado com :
Como só
(ortogonalidade), sobra
- Interpretando:
é o tamanho da projeção de em vezes o tamanho de . Ao dividir por , sobra justamente o comprimento da projeção de na direção de , ajustado pela norma de .
Passo 3
(b) Escrita da Eq.(10) em produto interno
A Eq.(10) é a expansão de Fourier
A Eq.(10) é a expansão de Fourier
Agora fazemos o produto interno
. Usando linearidade:
Isso é exatamente o que queríamos mostrar.
Passo 4
© Isolando
e
- Da ortogonalidade das bases de funções temos
Então, na equação do passo anterior, quando a gente escolhe um
fixo só sobrevive o termo
. Logo
- Analogamente, pegando
e usando
chegamos em
Resposta
(a)
.
(b)
©
(b)
©