Resolva os problemas a seguir utilizando o Princípio do Trabatho e Energia ou a Equaçăo da Conservaçāo da Energia. Cada método deve ser utilizado em apenas um exercicio.
A barra de 60 kg OA, é liberada do repouso quando
. Determine sua velocidade angular quando
. A mola permanece vertical durante o movimento e não está deformada quando
.
A barra de 60 kg OA, é liberada do repouso quando
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede e o que a gente vai usar.
Enunciado resumido: temos uma barra OA de massa m=60 kg e comprimento L, presa em O e ligada a uma mola vertical que não está deformada quando a barra está horizontal (θ=0°). Soltamos a barra do repouso em θ=0° e deixamos ela girar até θ=45°. Precisamos achar sua velocidade angular ω nesse instante.
Conteúdo da matéria: Conservação de Energia Mecânica (Energia potencial gravitacional + energia potencial elástica = energia cinética rotacional).
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Energia potencial gravitacional da barra (variação de altura do centro de massa).
- Energia potencial elástica da mola (½ k x², onde x é a deformação).
- Energia cinética de rotação da barra (½ I ω², com I=⅓ m L² para barra em torno de uma extremidade).
Passo 2
Definindo referências e variações de energia:
- Nível zero de energia potencial gravitacional: escolhemos a posição inicial da barra (θ=0) como referência de altura para o centro de massa.
- Quando a barra gira até ângulo θ, ela desce um pouco, perdendo energia potencial gravitacional.
- A mola, que no início não estava deformada, ganha energia armazenada quando a ponta A desce.
- Essa perda de energia gravitacional vira energia cinética de rotação + energia elástica.
Passo 3
Energia potencial gravitacional perdida (ΔU_g):
O centro de massa da barra fica a L/2 do pivô. Quando a barra gira até θ, o desnível vertical é
O centro de massa da barra fica a L/2 do pivô. Quando a barra gira até θ, o desnível vertical é
Então
Passo 4
Energia potencial elástica ganha pela mola (U_s):
A mola é vertical. Quando o ponto A desce de zero até θ, sua descida é L sinθ, então a mola estica nessa mesma quantidade:
A mola é vertical. Quando o ponto A desce de zero até θ, sua descida é L sinθ, então a mola estica nessa mesma quantidade:
Passo 5
Energia cinética rotacional da barra (K):
Para uma barra de massa m e comprimento L girando em torno de uma extremidade,
Para uma barra de massa m e comprimento L girando em torno de uma extremidade,
Passo 6
Escrevendo a conservação de energia (energia perdida em U_g = soma de K + U_s):
Agora isolamos ω²:
- Multiplica tudo por 6/(mL²):
- Então
Resposta
Para θ=45°, basta substituir sin 45°=√2/2:
Esse é o valor da velocidade angular em função de m, g, L e k.