Resolva os problemas a seguir utilizando o Princípio do Trabatho e Energia ou a Equaçăo da Conservaçāo da Energia. Cada método deve ser utilizado em apenas um exercicio.
A barra de 60 kg OA, é liberada do repouso quando theta=0^circ. Determine sua velocidade angular quando theta=45^circ. A mola permanece vertical durante o movimento e não está deformada quando theta=0^circ.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede e o que a gente vai usar.
Enunciado resumido: temos uma barra OA de massa m=60 kg e comprimento L, presa em O e ligada a uma mola vertical que não está deformada quando a barra está horizontal (θ=0°). Soltamos a barra do repouso em θ=0° e deixamos ela girar até θ=45°. Precisamos achar sua velocidade angular ω nesse instante.
Conteúdo da matéria: Conservação de Energia Mecânica (Energia potencial gravitacional + energia potencial elástica = energia cinética rotacional).
O que vamos precisar:
  1. Energia potencial gravitacional da barra (variação de altura do centro de massa).
  2. Energia potencial elástica da mola (½ k x², onde x é a deformação).
  3. Energia cinética de rotação da barra (½ I ω², com I=⅓ m L² para barra em torno de uma extremidade).

Passo 2

Definindo referências e variações de energia:
  • Nível zero de energia potencial gravitacional: escolhemos a posição inicial da barra (θ=0) como referência de altura para o centro de massa.
  • Quando a barra gira até ângulo θ, ela desce um pouco, perdendo energia potencial gravitacional.
  • A mola, que no início não estava deformada, ganha energia armazenada quando a ponta A desce.
  • Essa perda de energia gravitacional vira energia cinética de rotação + energia elástica.

Passo 3

Energia potencial gravitacional perdida (ΔU_g):
O centro de massa da barra fica a L/2 do pivô. Quando a barra gira até θ, o desnível vertical é
De
Então
De

Passo 4

Energia potencial elástica ganha pela mola (U_s):
A mola é vertical. Quando o ponto A desce de zero até θ, sua descida é L sinθ, então a mola estica nessa mesma quantidade:
x = L,sintheta Longrightarrow Us = tfrac12,k,x^2 = tfrac12,k,(Lsintheta)^2 = tfrac12,k,L^2,sin^2theta,

Passo 5

Energia cinética rotacional da barra (K):
Para uma barra de massa m e comprimento L girando em torno de uma extremidade,
I = tfrac13,m,L^2,, K = tfrac12,I,omega^2 = tfrac12l(tfrac13mL^2r)omega^2 = tfracmL^26,omega^2,

Passo 6

Escrevendo a conservação de energia (energia perdida em U_g = soma de K + U_s):
m,g,L2sintheta = mL^26,omega^2 + 12,k,L^2,sin^2theta ,
Agora isolamos ω²:
  1. Multiplica tudo por 6/(mL²):
6mL^2l(mg,tfracL2sinthetar) = omega^2 + 6mL^2l(tfrac12,k,L^2,sin^2thetar)
Rightarrow 6g2L,sintheta = omega^2 + 3km,sin^2theta
  1. Então
omega^2 = 3gL,sintheta ;-; 3km,sin^2theta,

Resposta

Para θ=45°, basta substituir sin 45°=√2/2:
boxed,omega = raiz;3gL,raiz22;-;3km,12;,,
Esse é o valor da velocidade angular em função de m, g, L e k.

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