O LSD e o elefante asiático (texto abaixo extraído do livro OKUNO, pg.450).
Em 1962, alguns investigadores* tentaram induzir experimentalmente uma aberração comportamental, semelhante à loucura descrita acima, por meio de LSD, num elefante macho asiático chamado Tusko. Conhecendo-se a dose ( 0,257 \mathrm{mg} ) que provoca certa irritabilidade num gato e pretendendo produzir efeito semelhante num elefante, a dose a ser administrada foi calculada, le-vando-se em conta somente a relação entre as massas do gato ( 2,6 \mathrm{~kg} ) e do elefante ( \sim 3000 \mathrm{~kg} ). A dose calculada foi de 297 mg e corresponde a cerca de 1500 “viagens” num ser humano. Logo após ter recebido a injeção intramuscular de LSD, o elefante saiu correndo aloucado, barrindo; de repente parou e cinco minutos depois entrou em colapso, tendo convulsões e vindo a morrer uma hora e quarenta minutos depois. Os investigadores tiraram, entre outras conclusões, a de que os elefantes são especialmente sensíveis ao LSD.
Com base no texto acima, calcule:
a) qual deveria ser a dose correta de LSD a ser aplicada no elefante?
b) Com base na dose administrada, qual deveria ser a massa do elefante?

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e perguntas (vou listar tudo claramente para não nos perdermos):
  • Dose que provoca irritabilidade num gato: 0,257\\ \mathrm{mg}.
  • Massa do gato: 2,6\\ \mathrm{kg}.
  • Massa aproximada do elefante usada pelos investigadores: 3000\\ \mathrm{kg}.
  • Dose que os investigadores administraram ao elefante (calculada por eles usando apenas proporção direta com a massa): 297\\ \mathrm{mg}.
As perguntas pedem:
(a) qual deveria ser a dose correta de LSD a ser aplicada no elefante?
(b) com base na dose administrada ( 297\\ \mathrm{mg}), qual deveria ser a massa do elefante (isto é, que massa faria aquela dose ser “correta” segundo o mesmo critério usado por nós)?

Passo 2

Decidindo o método e a hipótese que vamos usar (aqui explico e ensino o princípio):
  • Em farmacologia comparativa costuma-se escalar doses entre espécies usando a área corporal (superfície), não diretamente a massa. Por quê? Imagine que animais geometricamente semelhantes têm comprimento linear L proporcional a M^{1/3} (pois massa \propto L^3). A área (superfície) escala como L^2, logo como M^{2/3}. Muitos efeitos farmacológicos dependem mais da área corporal / metabolismo do que da massa direta.
  • Assim, tratamos a dose eficaz D como proporcional a M^{2/3}. Ou seja, para duas espécies (gato C e elefante E) usamos a fórmula abaixo. Vou enunciar a fórmula e explicar cada símbolo:
D_E = D_C \left(\dfrac{M_E}{M_C}\right)^{2/3}
onde D_E é a dose para o elefante, D_C é a dose no gato, M_E é a massa do elefante e M_C é a massa do gato.

Passo 3

Aplicando a fórmula com os valores dados para achar a dose correta no elefante (parte a):
  • Primeiro calcule a razão de massas:
\frac{M_E}{M_C}=\frac{3000}{2,6}\approx 1153{,}846153\ldots
  • Agora elevamos essa razão a 2/3. Operacionalmente podemos primeiro extrair a raiz cúbica e depois elevar ao quadrado, ou usar potência direta. Vou mostrar a ideia:
\left(\frac{3000}{2,6}\right)^{2/3}\approx 110{,}19
(uma forma de entender: (1153{,}846)^{1/3}\approx 10{,}497 e (10{,}497)^2\approx 110{,}19).
  • Finalmente multiplicamos pela dose do gato:
D_E = 0{,}257\times 110{,}19 \approx 28{,}32\\ \mathrm{mg}.
Portanto a dose correta, segundo a escala por superfície, é aproximadamente 28{,}3\\ \mathrm{mg}.

Passo 4

Interpretação imediata (útil para a prova): comparar com o que foi administrado. Os investigadores deram 297\\ \mathrm{mg}. A relação entre a dose administrada e a dose correta é
\frac{297}{28{,}32}\approx 10{,}49,
ou seja, a dose aplicada foi cerca de 10{,}5 vezes maior que a que esperaríamos pela escala por superfície.

Passo 5

Agora resolvemos a parte (b): dado que foi administrada 297\\ \mathrm{mg}, qual massa M do elefante faria essa dose ser a correta segundo a mesma regra D\propto M^{2/3}? Começamos da equação
297 = 0{,}257\left(\dfrac{M}{2{,}6}\right)^{2/3}.
  • Isolamos a potência:
\left(\dfrac{M}{2{,}6}\right)^{2/3} = \dfrac{297}{0{,}257}\approx 1155{,}252.
  • Elevamos ambos os lados à potência 3/2 para encontrar M/2{,}6:
\dfrac{M}{2{,}6} = \left(1155{,}252\right)^{3/2}.
  • Calculando: primeiro \sqrt{1155{,}252}\approx 33{,}989, depois (33{,}989)^3 \approx 39\,265{,}86. Assim
M \approx 2{,}6\times 39\,265{,}86 \approx 102\,190{,}2\\ \mathrm{kg}.

Passo 6

Interpretação final e dica de prova:
  • O resultado de (b) mostra que a dose de 297\\ \mathrm{mg} corresponderia (pela nossa regra de escala por superfície) a um animal com massa de aproximadamente 1{,}02\times 10^{5}\\ \mathrm{kg}, coisa que não existe — portanto a dose dada foi exageradamente grande para um elefante de 3000\\ \mathrm{kg}.
  • Para a prova: sempre anote claramente a hipótese de escala que está usando (por ex. proporcional à massa ou à área corporal). Se o enunciado não disser, explique qual você escolheu e por quê (a justificativa rápida é: área \propto M^{2/3}). Faça as potências na ordem raiz cúbica depois quadrado para facilitar cálculos manuais.

Resposta

(a) D_E\approx 28{,}3\\ \mathrm{mg}
(b) M\approx 1{,}02\times 10^{5}\\ \mathrm{kg}

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