Uma LT sem perdas, com
e
tem 40 m de comprimento e alimenta uma carga
. Se uma fonte de tensão
com resistência interna de
e
for conectada à entrada da LT, calcular:
a) a tensão, a corrente e a potência na entrada da linha;
b) a tensão, a corrente e a potência na carga.
a) a tensão, a corrente e a potência na entrada da linha;
b) a tensão, a corrente e a potência na carga.
Passo 1
Vamos listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado):
-
Dados:
- Capacitância por comprimento:
. - Indutância por comprimento:
. - Comprimento da linha:
. - Carga resistiva:
. - Fonte:
com resistência interna . - Frequência:
.
- Capacitância por comprimento:
-
O que é pedido:
a) Na entrada da linha: tensão, corrente e potência.
b) Na carga: tensão, corrente e potência.
Na próxima etapa eu vou calcular as propriedades da linha (impedância característica e constante de propagação) e depois aplicar as fórmulas de linha sem perdas para achar todas as grandezas pedidas.
Passo 2
Calcular a impedância característica
da linha (linha sem perdas):
Substituindo os valores:
Explicando:
é a relação entre tensão e corrente das ondas que se propagam na linha quando não há reflexão (onda progressiva infinita). Aqui deu um número simples:
.
Passo 3
Calcular a constante de fase
, velocidade de propagação
e comprimento de onda
:
- Primeiro
, logo
- Para linha sem perdas
. Calcule :
Portanto
- Velocidade de propagação:
- Comprimento de onda:
Comentário: a linha tem
, o que corresponde a um deslocamento de fase
(ou
).
Passo 4
Calcular a impedância de entrada da linha
a uma distância
da carga; fórmula para linha sem perdas:
Vamos calcular
. Como
, e
,
Agora os termos:
Logo
Fazendo a divisão complexa (multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador) obtemos, com cálculo numérico:
Interpretação: a entrada da linha, vista pela fonte, é uma impedância complexa próxima de
.
Passo 5
Calcular a corrente fornecida pela fonte e a tensão na entrada da linha. O circuito visto pela fonte é a resistência interna
em série com
. Então a impedância total
A corrente de entrada (corrente que entra na linha) é
Calculando módulo e fase:
Logo
A tensão na entrada da linha (tensão sobre
) é
Usando representação em módulo e fase de
:
e
,
Passo 6
Calcular a potência real entrando na linha. Para fasores (assumindo valores RMS), a potência complexa entregue à linha é
e a potência ativa (real) é
. Como a linha é sem perdas, essa potência ativa entra na linha e é entregue à carga no regime estacionário. Calculando com os valores obtidos:
ângulo de
é
. Assim
Observação amistosa: por consistência física, num linha sem perdas todo
deve ser absorvido pela carga; logo
(diferenças numéricas pequenas aparecem só por arredondamento).
Passo 7
Calcular o coeficiente de reflexão na carga
:
Como
é real e negativo, isso significa reflexão com inversão de fase parcial.
Passo 8
Encontrar a amplitude da onda incidente
(na posição do gerador ela aparece com fase deslocada) para poder calcular
. Usamos a relação (medindo
a partir da carga para trás; em
está a entrada)
Dessa equação isolamos
:
Já calculamos
. Usando
e
, o denominador fica
Com
e
,
Explicando:
é a amplitude (no ponto da carga seria a onda incidente desenrolada) usada para recompor tensão total na carga.
Passo 9
Tensão e corrente na carga. Na própria carga (
):
Como
,
A corrente na carga é
(como
é puramente real):
Passo 10
Potência na carga. Como a carga é resistiva:
Usando os valores:
Confirmação: isso bate com a potência que calculamos na entrada da linha (pequenas diferenças seriam apenas por arredondamento).
Resposta
a)
a)
a)
a)
a)
b)
b)
b)
b)
b)