Uma LT sem perdas, com \mathrm{C}=80 \mathrm{pF} / \mathrm{m} e \mathrm{L}=0,2 \mu \mathrm{H} / \mathrm{m} tem 40 m de comprimento e alimenta uma carga \mathrm{Z}_{\mathrm{L}}=20 \Omega. Se uma fonte de tensão \mathrm{V}_{\mathrm{g}}=100 \angle 0^{\circ} \mathrm{V} com resistência interna de 10 \Omega e \mathrm{f}=5 \mathrm{MHz} for conectada à entrada da LT, calcular:
a) a tensão, a corrente e a potência na entrada da linha;
b) a tensão, a corrente e a potência na carga.

Passo 1

Vamos listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado):
  • Dados:
    • Capacitância por comprimento: \,C=80\\ \text{pF/m}=80\times10^{-12}\\ \text{F/m}.
    • Indutância por comprimento: \,L=0{,}2\\ \mu\text{H/m}=0{,}2\times10^{-6}\\ \text{H/m}.
    • Comprimento da linha: \,l=40\\ \text{m}.
    • Carga resistiva: \,Z_L=20\\ \Omega.
    • Fonte: \,V_g=100\angle 0^\circ\\ \text{V} com resistência interna \,R_g=10\\ \Omega.
    • Frequência: \,f=5\\ \text{MHz}=5\times10^{6}\\ \text{Hz}.
  • O que é pedido:
    a) Na entrada da linha: tensão, corrente e potência.
    b) Na carga: tensão, corrente e potência.
Na próxima etapa eu vou calcular as propriedades da linha (impedância característica e constante de propagação) e depois aplicar as fórmulas de linha sem perdas para achar todas as grandezas pedidas.

Passo 2

Calcular a impedância característica \,Z_0 da linha (linha sem perdas):
Z_0=\sqrt{\frac{L}{C}}.
Substituindo os valores:
Z_0=\sqrt{\frac{0{,}2\times10^{-6}}{80\times10^{-12}}} =\sqrt{\frac{0{,}2}{80}\times10^{6}} =\sqrt{0{,}0025\times10^{6}} =\sqrt{2500}=50\\ \Omega.
Explicando: \,Z_0 é a relação entre tensão e corrente das ondas que se propagam na linha quando não há reflexão (onda progressiva infinita). Aqui deu um número simples: \,50\\ \Omega.

Passo 3

Calcular a constante de fase \beta, velocidade de propagação v_p e comprimento de onda \lambda:
  • Primeiro \omega=2\pi f, logo
\omega=2\pi\cdot5\times10^{6}=10\pi\times10^{6}\\ \text{rad/s}.
  • Para linha sem perdas \beta=\omega\sqrt{LC}. Calcule \sqrt{LC}:
\sqrt{LC}=\sqrt{0{,}2\times10^{-6}\cdot80\times10^{-12}} =\sqrt{16\times10^{-18}}=4\times10^{-9}\\ \text{s/m}.
Portanto
\beta=\omega\sqrt{LC}=2\pi\cdot5\times10^{6}\cdot4\times10^{-9}=40\pi\times10^{-3}=0{,}04\pi\\ \text{rad/m}\approx0{,}1256637\\ \text{rad/m}.
  • Velocidade de propagação:
v_p=\frac{1}{\sqrt{LC}}=\frac{1}{4\times10^{-9}}=2{,}5\times10^{8}\\ \text{m/s}.
  • Comprimento de onda:
\lambda=\frac{v_p}{f}=\frac{2{,}5\times10^{8}}{5\times10^{6}}=50\\ \text{m}.
Comentário: a linha tem \,l=40\\ \text{m} =0{,}8\lambda, o que corresponde a um deslocamento de fase \beta l = 0{,}8\cdot2\pi = 1{,}6\pi\\ \text{rad}=5{,}026548\\ \text{rad} (ou 288^\circ).

Passo 4

Calcular a impedância de entrada da linha \,Z_{\text{in}} a uma distância l da carga; fórmula para linha sem perdas:
Z_{\text{in}}=Z_0\cdot\frac{Z_L+jZ_0\tan(\beta l)}{Z_0+jZ_L\tan(\beta l)}.
Vamos calcular \tan(\beta l). Como \beta l=5{,}026548\\ \text{rad}=288^\circ, e \tan(288^\circ)=\tan(108^\circ)=-\tan(72^\circ),
\tan(\beta l)\approx -3{,}077683537.
Agora os termos:
Z_L+jZ_0\tan(\beta l)=20+j\cdot50\cdot(-3{,}077683537)=20-j153{,}8841769,
Z_0+jZ_L\tan(\beta l)=50+j\cdot20\cdot(-3{,}077683537)=50-j61{,}55367074.
Logo
Z_{\text{in}}=50\cdot\frac{20-j153{,}8841769}{50-j61{,}55367074}.
Fazendo a divisão complexa (multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador) obtemos, com cálculo numérico:
Z_{\text{in}}\approx83{,}269 - j51{,}387\\ \Omega.
Interpretação: a entrada da linha, vista pela fonte, é uma impedância complexa próxima de 83{,}3 - j51{,}4\\ \Omega.

Passo 5

Calcular a corrente fornecida pela fonte e a tensão na entrada da linha. O circuito visto pela fonte é a resistência interna R_g=10\\ \Omega em série com Z_{\text{in}}. Então a impedância total
Z_{\text{tot}}=R_g+Z_{\text{in}}=10+(83{,}269 - j51{,}387)=93{,}269 - j51{,}387\\ \Omega.
A corrente de entrada (corrente que entra na linha) é
I_{\text{in}}=\frac{V_g}{Z_{\text{tot}}}.
Calculando módulo e fase:
|Z_{\text{tot}}|=\sqrt{93{,}269^{2}+(-51{,}387)^{2}}\approx106{,}48\\ \Omega,
\angle Z_{\text{tot}}=\arctan\!\left(\frac{-51{,}387}{93{,}269}\right)\approx -29{,}56^\circ.
Logo
I_{\text{in}}=\frac{100\angle 0^\circ}{106{,}48\angle -29{,}56^\circ}=0{,}9391\angle 29{,}56^\circ\\ \text{A}.
A tensão na entrada da linha (tensão sobre Z_{\text{in}}) é
V_{\text{in}}=I_{\text{in}}\;Z_{\text{in}}.
Usando representação em módulo e fase de Z_{\text{in}}: |Z_{\text{in}}|\approx97{,}852\\ \Omega e \angle Z_{\text{in}}\approx -32{,}60^\circ,
V_{\text{in}}=0{,}9391\angle29{,}56^\circ\cdot97{,}852\angle -32{,}60^\circ\approx91{,}90\angle -3{,}04^\circ\\ \text{V}.

Passo 6

Calcular a potência real entrando na linha. Para fasores (assumindo valores RMS), a potência complexa entregue à linha é
S_{\text{linha}}=V_{\text{in}}I_{\text{in}}^*,
e a potência ativa (real) é P_{\text{linha}}=\Re\{S_{\text{linha}}\}. Como a linha é sem perdas, essa potência ativa entra na linha e é entregue à carga no regime estacionário. Calculando com os valores obtidos:
|V_{\text{in}}|\cdot|I_{\text{in}}|=91{,}90\cdot0{,}9391\approx86{,}32\\ \text{VA},
ângulo de S_{\text{linha}} é \angle V_{\text{in}}-\angle I_{\text{in}}=-3{,}04^\circ-29{,}56^\circ=-32{,}60^\circ. Assim
P_{\text{linha}}=86{,}32\cos(-32{,}60^\circ)\approx73{,}43\\ \text{W}.
Observação amistosa: por consistência física, num linha sem perdas todo P_{\text{linha}} deve ser absorvido pela carga; logo P_{\text{linha}}=P_L (diferenças numéricas pequenas aparecem só por arredondamento).

Passo 7

Calcular o coeficiente de reflexão na carga \Gamma_L:
\Gamma_L=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}=\frac{20-50}{20+50}=\frac{-30}{70}=-0{,}4285714286.
Como \Gamma_L é real e negativo, isso significa reflexão com inversão de fase parcial.

Passo 8

Encontrar a amplitude da onda incidente V^+ (na posição do gerador ela aparece com fase deslocada) para poder calcular V_L. Usamos a relação (medindo z a partir da carga para trás; em z=-l está a entrada)
I_{\text{in}}=\frac{V^+}{Z_0}\big(e^{-j\beta l}-\Gamma_L e^{j\beta l}\big).
Dessa equação isolamos V^+:
V^+=I_{\text{in}}\,Z_0\Big/ \big(e^{-j\beta l}-\Gamma_L e^{j\beta l}\big).
Já calculamos \beta l=5{,}026548\\ \text{rad}. Usando
e^{-j\beta l}=0{,}30901699 + j0{,}95105652,\qquad e^{j\beta l}=0{,}30901699 - j0{,}95105652,
e \Gamma_L=-0{,}4285714286, o denominador fica
e^{-j\beta l}-\Gamma_L e^{j\beta l}=0{,}44102541 + j0{,}54388194.
Com I_{\text{in}}=0{,}9391\angle29{,}56^\circ e Z_0=50\\ \Omega,
V^+\approx67{,}083\angle -21{,}343^\circ\\ \text{V}.
Explicando: V^+ é a amplitude (no ponto da carga seria a onda incidente desenrolada) usada para recompor tensão total na carga.

Passo 9

Tensão e corrente na carga. Na própria carga ( z=0):
V_L=V^+(1+\Gamma_L).
Como 1+\Gamma_L=1-0{,}4285714286=0{,}5714285714,
V_L=67{,}083\angle -21{,}343^\circ\cdot0{,}5714285714\approx38{,}32\angle -21{,}34^\circ\\ \text{V}.
A corrente na carga é \,I_L=V_L/Z_L (como Z_L é puramente real):
I_L=\frac{38{,}32\angle -21{,}34^\circ}{20}=1{,}916\angle -21{,}34^\circ\\ \text{A}.

Passo 10

Potência na carga. Como a carga é resistiva:
P_L=\Re\{V_L I_L^*\}=\frac{|V_L|^2}{R_L}=|I_L|^2 R_L.
Usando os valores:
P_L=\frac{38{,}32^2}{20}\approx73{,}43\\ \text{W}.
Confirmação: isso bate com a potência que calculamos na entrada da linha (pequenas diferenças seriam apenas por arredondamento).

Resposta

a) V_{\text{in}}=91{,}90\angle -3{,}04^\circ\\ \text{V}
a) I_{\text{in}}=0{,}9391\angle 29{,}56^\circ\\ \text{A}
a) P_{\text{in}}=73{,}43\\ \text{W}
b) V_{L}=38{,}32\angle -21{,}34^\circ\\ \text{V}
b) I_{L}=1{,}916\angle -21{,}34^\circ\\ \text{A}
b) P_{L}=73{,}43\\ \text{W}

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