1 - Uma LT operando em \mathrm{f}=500 \mathrm{MHz} tem os seguintes parâmetros: \gamma=\mathrm{j} 10 \pi \mathrm{~Np} / \mathrm{m} e \mathrm{Z}_{0}=50 \Omega.
b) Obter a faixa de valores para a impedância de carga ( \mathrm{L}_{\mathrm{L} \text { mín }} \leq \mathrm{Z}_{\mathrm{L}} \leq \mathrm{Z}_{\mathrm{L} \text { máx }}íá ) de modo que a potência refletida não seja maior do que 11,11 \% da potência incidente;

Passo 1

Dados fornecidos (retirados do enunciado):
  • frequência: \,f=500\\ \mathrm{MHz}.
  • constante de propagação: \,\gamma=\mathrm{j}\,10\pi\\ \mathrm{Np/m}.
  • impedância característica: \,Z_{0}=50\\ \Omega.
O que o enunciado pede:
  • Determinar a faixa de valores da impedância de carga tal que a potência refletida não seja maior do que 11{,}11\% da potência incidente. Ou seja, encontrar \,Z_{L,\min} e \,Z_{L,\max} tais que
\frac{P_{\mathrm{ref}}}{P_{\mathrm{inc}}}\le 11{,}11\%.

Passo 2

Entender o conceito de coeficiente de reflexão e sua relação com impedâncias.
  • Definição: o coeficiente de reflexão na carga é a razão entre a onda refletida e a onda incidente (amplitude complexa) na extremidade da linha:
\Gamma=\frac{Z_{L}-Z_{0}}{Z_{L}+Z_{0}}.
Explicando as variáveis: \,Z_{L} é a impedância (complexa, em geral) da carga; \,Z_{0} é a impedância característica da linha. A fórmula dá um número complexo cujo módulo indica a fração de amplitude refletida e cujo argumento é a defasagem da onda refletida.

Passo 3

Relação entre potência refletida e \Gamma.
  • A potência refletida relativa à incidente é dada pelo quadrado do módulo do coeficiente de reflexão:
\frac{P_{\mathrm{ref}}}{P_{\mathrm{inc}}}=|\Gamma|^{2}.
Portanto, a restrição do enunciado \dfrac{P_{\mathrm{ref}}}{P_{\mathrm{inc}}}\le 11{,}11\% vira
|\Gamma|^{2}\le 0{,}1111\quad\Longrightarrow\quad |\Gamma|\le\sqrt{0{,}1111}.
  • Observação numérica: 0{,}1111\approx \tfrac{1}{9}. Logo
|\Gamma|\le\sqrt{\tfrac{1}{9}}=\tfrac{1}{3}\approx 0{,}3333.

Passo 4

Sobre a constante de propagação \gamma e sua utilidade aqui.
  • Foi dado \gamma=\mathrm{j}\,10\pi\\ \mathrm{Np/m}, que é puramente imaginária. Isso significa que a linha é essencialmente lossless (sem atenuação real): a parte real de \gamma é zero. Para linha sem perdas, o módulo de \Gamma é o mesmo em qualquer ponto da linha; portanto basta garantir a condição para \Gamma calculado na carga usando a fórmula do Passo 2.
  • Escolha de interpretação prática: o enunciado pede uma “faixa” \,Z_{L,\min}\le Z_{L}\le Z_{L,\max}. Isso sugere que se quer a faixa para impedâncias puramente reativas (resistivas) reais. Se \,Z_{L} pudesse ser qualquer número complexo a condição define uma região (um círculo) no plano complexo; mas para obter um intervalo mínimo–máximo unidimensional consideramos aqui \,Z_{L} real (resistência), que é a interpretação usual quando se pede um intervalo simples.

Passo 5

Resolver a desigualdade para Z_{L} real.
  • Começamos da condição obtida:
\left|\frac{Z_{L}-Z_{0}}{Z_{L}+Z_{0}}\right|\le \tfrac{1}{3}.
Para Z_{L} real e assumindo Z_{L}+Z_{0}>0 (verdadeiro para Z_{L}>-Z_{0}; como buscamos resistências positivas, isso vale), a desigualdade transforma-se em
|Z_{L}-Z_{0}|\le \tfrac{1}{3}(Z_{L}+Z_{0}).
Agora removemos o valor absoluto dividindo em dois casos equivalentes.
Primeiro caso (tirando sinal positivo):
Z_{L}-Z_{0}\le \tfrac{1}{3}(Z_{L}+Z_{0}).
Multiplicando ambos os lados por 3:
3Z_{L}-3Z_{0}\le Z_{L}+Z_{0}.
Rearranjando:
3Z_{L}-Z_{L}\le Z_{0}+3Z_{0}\quad\Longrightarrow\quad 2Z_{L}\le 4Z_{0}.
Portanto
Z_{L}\le 2Z_{0}.
Segundo caso (tirando sinal negativo):
-(Z_{L}-Z_{0})\le \tfrac{1}{3}(Z_{L}+Z_{0})
ou
-Z_{L}+Z_{0}\le \tfrac{1}{3}(Z_{L}+Z_{0}).
Multiplicando por 3:
-3Z_{L}+3Z_{0}\le Z_{L}+Z_{0}.
Rearranjando:
-3Z_{L}-Z_{L}\le Z_{0}-3Z_{0}\quad\Longrightarrow\quad -4Z_{L}\le -2Z_{0}.
Dividindo por -4 (e invertendo a desigualdade):
Z_{L}\ge \tfrac{1}{2}Z_{0}.
Juntando as duas condições:
\tfrac{1}{2}Z_{0}\le Z_{L}\le 2Z_{0}.

Passo 6

Substituir Z_{0}=50\\ \Omega e verificar os limites.
  • Calculando os extremos:
Z_{L,\min}=\tfrac{1}{2}\cdot 50\\ \Omega=25\\ \Omega, \qquad Z_{L,\max}=2\cdot 50\\ \Omega=100\\ \Omega.
  • Verificação rápida: para Z_{L}=25\\ \Omega,
\Gamma=\frac{25-50}{25+50}=\frac{-25}{75}=-\tfrac{1}{3},\quad |\Gamma|=\tfrac{1}{3},
portanto |\Gamma|^{2}=\tfrac{1}{9}=11{,}11\%. Para Z_{L}=100\\ \Omega,
\Gamma=\frac{100-50}{100+50}=\frac{50}{150}=\tfrac{1}{3},\quad |\Gamma|^{2}=\tfrac{1}{9}=11{,}11\%.
Ambos são os limites que saturam a condição.

Passo 7

Interpretação final e comentário didático.
  • Conclusão prática: qualquer resistência pura Z_{L} entre 25\\ \Omega e 100\\ \Omega garante que a potência refletida não exceda 11{,}11\% da potência incidente.
  • Observação útil para prova: se a carga puder ser complexa, a mesma condição |\Gamma|\le \tfrac{1}{3} define um círculo no plano complexo de impedâncias (ou um círculo no diagrama de \Gamma). Para obter um intervalo unidimensional é preciso assumir Z_{L} real.

Resposta

25\\ \Omega \le Z_{L} \le 100\\ \Omega

Exercícios relacionados