1 - Uma LT operando em \mathrm{f}=500 \mathrm{MHz} tem os seguintes parâmetros: \gamma=\mathrm{j} 10 \pi \mathrm{~Np} / \mathrm{m} e \mathrm{Z}_{0}=50 \Omega.
b) Obter a faixa de valores para a impedância de carga ( \mathrm{L}_{\mathrm{L} \text { mín }} \leq \mathrm{Z}_{\mathrm{L}} \leq \mathrm{Z}_{\mathrm{L} \text { máx }} ) de modo que a potência refletida não seja maior do que 11,11 \% da potência incidente;
Passo 1
Dados fornecidos (retirados do enunciado):
frequência: \,f=500\\ \mathrm{MHz}.
constante de propagação: \,\gamma=\mathrm{j}\,10\pi\\ \mathrm{Np/m}.
impedância característica: \,Z_{0}=50\\ \Omega.
O que o enunciado pede:
Determinar a faixa de valores da impedância de carga tal que a potência refletida não seja maior do que 11{,}11\% da potência incidente. Ou seja, encontrar \,Z_{L,\min} e \,Z_{L,\max} tais que
Entender o conceito de coeficiente de reflexão e sua relação com impedâncias.
Definição: o coeficiente de reflexão na carga é a razão entre a onda refletida e a onda incidente (amplitude complexa) na extremidade da linha:
\Gamma=\frac{Z_{L}-Z_{0}}{Z_{L}+Z_{0}}.
Explicando as variáveis: \,Z_{L} é a impedância (complexa, em geral) da carga; \,Z_{0} é a impedância característica da linha. A fórmula dá um número complexo cujo módulo indica a fração de amplitude refletida e cujo argumento é a defasagem da onda refletida.
Passo 3
Relação entre potência refletida e \Gamma.
A potência refletida relativa à incidente é dada pelo quadrado do módulo do coeficiente de reflexão:
Sobre a constante de propagação \gamma e sua utilidade aqui.
Foi dado \gamma=\mathrm{j}\,10\pi\\ \mathrm{Np/m}, que é puramente imaginária. Isso significa que a linha é essencialmente lossless (sem atenuação real): a parte real de \gamma é zero. Para linha sem perdas, o módulo de \Gamma é o mesmo em qualquer ponto da linha; portanto basta garantir a condição para \Gamma calculado na carga usando a fórmula do Passo 2.
Escolha de interpretação prática: o enunciado pede uma “faixa” \,Z_{L,\min}\le Z_{L}\le Z_{L,\max}. Isso sugere que se quer a faixa para impedâncias puramente reativas (resistivas) reais. Se \,Z_{L} pudesse ser qualquer número complexo a condição define uma região (um círculo) no plano complexo; mas para obter um intervalo mínimo–máximo unidimensional consideramos aqui \,Z_{L} real (resistência), que é a interpretação usual quando se pede um intervalo simples.
Para Z_{L} real e assumindo Z_{L}+Z_{0}>0 (verdadeiro para Z_{L}>-Z_{0}; como buscamos resistências positivas, isso vale), a desigualdade transforma-se em
|Z_{L}-Z_{0}|\le \tfrac{1}{3}(Z_{L}+Z_{0}).
Agora removemos o valor absoluto dividindo em dois casos equivalentes.
Conclusão prática: qualquer resistência pura Z_{L} entre 25\\ \Omega e 100\\ \Omega garante que a potência refletida não exceda 11{,}11\% da potência incidente.
Observação útil para prova: se a carga puder ser complexa, a mesma condição |\Gamma|\le \tfrac{1}{3} define um círculo no plano complexo de impedâncias (ou um círculo no diagrama de \Gamma). Para obter um intervalo unidimensional é preciso assumir Z_{L} real.