1 - Uma LT operando em \mathrm{f}=500 \mathrm{MHz} tem os seguintes parâmetros: \gamma=\mathrm{j} 10 \pi \mathrm{~Np} / \mathrm{m} e \mathrm{Z}_{0}=50 \Omega.
c) Se \gamma=0,002+\mathrm{j} 10 \pi \mathrm{~Np} / \mathrm{m} e a linha estivesse casada com a carga, qual deveria ser o comprimento máximo da linha para que a atenuação total fosse inferior a 4,343 \mathrm{~dB} ?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
  • Dados (pegos do enunciado):
    • frequência: \,f=500\\ \mathrm{MHz}.
    • constante de propagação: \displaystyle \gamma=0{,}002+\mathrm{j}\,10\pi\\ \mathrm{Np/m}.
      Dessa expressão, a parte real (atenuação por unidade de comprimento) é \displaystyle \alpha=0{,}002\\ \mathrm{Np/m}.
    • impedância característica: \,Z_0=50\\ \Omega (não será necessária para este item porque a linha está casada com a carga).
    • limite pedido para a atenuação total: atenuação inferior a \,4{,}343\\ \mathrm{dB}.
  • Pergunta:
    • Se a linha estiver casada com a carga (logo sem reflexões), qual deve ser o comprimento máximo da linha para que a atenuação total fique abaixo de \,4{,}343\\ \mathrm{dB} ?

Passo 2

Entendendo a física e a fórmula básica (aula rápida e prática).
  • Interpretação de \alpha: a parte real de \gamma, chamada \alpha, mede a atenuação exponencial da amplitude da onda ao longo da linha. Se uma tensão incidente tem amplitude V_0 em x=0, a amplitude em x=L será proporcional a e^{-\alpha L}.
  • Como expressar essa atenuação em decibéis (dB)?
    A atenuação em dB (usando a escala de tensão/amplitude, que é o que normalmente se usa quando partimos da amplitude de onda) é dada por
    A_{\mathrm{dB}} = 20\log_{10}\!\big(e^{\alpha L}\big) \;=\; (20\log_{10} e)\,\alpha L.
    Aqui:
    • \,A_{\mathrm{dB}} é a atenuação total em decibéis (número positivo),
    • \alpha é a atenuação em \mathrm{Np/m},
    • L é o comprimento em \mathrm{m},
    • e \,20\log_{10} e\approx 8{,}685889638 é o fator de conversão de nepers para decibéis (1 Np corresponde a aproximadamente 8{,}6859\\ \mathrm{dB}).

Passo 3

Aplicando a fórmula para achar a condição sobre \alpha L.
  • Queremos que a atenuação total satisfaça
    A_{\mathrm{dB}}=(20\log_{10} e)\,\alpha L \le 4{,}343\\ \mathrm{dB}.
  • Isolando \alpha L:
    \alpha L \le \frac{4{,}343}{20\log_{10} e}.
  • Usando o valor numérico de 20\log_{10} e:
    \alpha L \le \frac{4{,}343}{8{,}685889638}=0{,}5\\ \mathrm{Np}.
    (ou seja, a atenuação máxima permitida em unidades de nepers é \,0{,}5\\ \mathrm{Np}. Isso é um resultado prático útil: \,4{,}343\\ \mathrm{dB}\approx 0{,}5\\ \mathrm{Np}.)

Passo 4

Agora obtém-se o comprimento máximo L_{\max}.
  • Como \alpha=0{,}002\\ \mathrm{Np/m}, temos
    L_{\max}=\frac{0{,}5}{\alpha}.
  • Substituindo \alpha:
    L_{\max}=\frac{0{,}5}{0{,}002}\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Cálculo numérico e interpretação final (rapidez para a prova; mantenha a calma).
  • Fazendo a divisão:
    L_{\max}=250\\ \mathrm{m}.
  • Observações importantes e motivação:
    • Usei explicitamente que a linha está casada com a carga: assim não há perdas extras por reflexão, e a única contribuição para atenuação é \alpha L.
    • A parte imaginária de \gamma ( \beta=\!10\pi) governa a fase e comprimento de onda, não a atenuação em dB — por isso não entrou no cálculo do comprimento máximo para a atenuação.
    • Resultado intuitivo: com \alpha pequeno ( 0{,}002\\ \mathrm{Np/m}) dá para ter centenas de metros antes de atingir 4{,}343\\ \mathrm{dB} de perda — bom sinal para a linha!

Resposta

250\ \mathrm{m}

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