Uma LT com impedância característica \mathrm{Z} 0=50 \Omega é terminada por uma carga \mathrm{ZL}=150-\mathrm{j} 75 \Omega. Determine:
a) |\boldsymbol{\Gamma}|;
b) o ângulo de fase \boldsymbol{\theta}_{\boldsymbol{L}} ;
c) S .

Passo 1

O enunciado dá os valores da linha e da carga e pede três coisas. Informações e perguntas listadas claramente:
  • Dado: Z_0=50\\ \Omega.
  • Dado: Z_L=150-j\,75\\ \Omega.
  • Pergunta (a): calcular |\Gamma| (módulo do coeficiente de reflexão na carga).
  • Pergunta (b): calcular o ângulo de fase \theta_{L} do coeficiente de reflexão (ou seja, o argumento de \Gamma).
  • Pergunta (c): calcular S (a razão de onda estacionária — SWR).

Passo 2

Conceito e fórmula do coeficiente de reflexão: o coeficiente de reflexão na extremidade (na carga) é a razão entre a diferença e a soma das impedâncias:
\Gamma=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}.
Aqui:
  • Z_0 é a impedância característica da linha (número real 50\\ \Omega).
  • Z_L é a impedância complexa da carga ( 150-j\,75\\ \Omega).
    Vamos aplicar direto essa fórmula ao dado.

Passo 3

Calcular numerador e denominador de \Gamma.
Z_L-Z_0=(150-j\,75)-50=100-j\,75,
Z_L+Z_0=(150-j\,75)+50=200-j\,75.
Portanto
\Gamma=\frac{100-j\,75}{200-j\,75}.

Passo 4

Fazer a divisão de números complexos multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador para obter a forma a+jb.
Multiplicamos numerador e denominador por 200+j\,75:
\Gamma=\frac{(100-j\,75)(200+j\,75)}{(200-j\,75)(200+j\,75)}.
Calculemos o produto no numerador passo a passo:
  • 100\cdot200=20000.
  • 100\cdot j\,75 = j\,7500.
  • -j\,75\cdot200 = -j\,15000.
  • -j\,75\cdot j\,75 = -j^2\cdot75^2 = -(-1)\cdot5625 = +5625.
    Somando termos reais e imaginários:
\text{numerador}=20000+5625 + j(7500-15000)=25625 - j\,7500.
O denominador é a soma de quadrados (produto por conjugado):
\text{denominador}=200^2+(75)^2=40000+5625=45625.
Logo
\Gamma=\frac{25625 - j\,7500}{45625}.

Passo 5

Simplificar os coeficientes reais e imaginários dividindo por 45625. Podemos simplificar por 125:
\Gamma=\frac{25625}{45625}-j\frac{7500}{45625}=\frac{205}{365}-j\frac{60}{365}.
Dividindo de novo por 5:
\Gamma=\frac{41}{73}-j\frac{12}{73}.
Esta é a forma retangular de \Gamma. Ou seja,
\Gamma=\frac{41}{73}-j\frac{12}{73}.

Passo 6

Calcular o módulo |\Gamma|. Para um número complexo x+jy tem-se
|x+jy|=\sqrt{x^2+y^2}.
Aqui x=\dfrac{41}{73} e y=-\dfrac{12}{73}. Então
|\Gamma|=\sqrt{\left(\frac{41}{73}\right)^2+\left(\frac{12}{73}\right)^2} =\frac{1}{73}\sqrt{41^2+12^2}.
Calculemos 41^2+12^2=1681+144=1825. Note que 1825=25\cdot73, então
|\Gamma|=\frac{1}{73}\sqrt{25\cdot73}=\frac{1}{73}\cdot5\sqrt{73}=\frac{5}{\sqrt{73}}.
Valor numérico aproximado (usar vírgula como separador decimal):
|\Gamma|\approx\frac{5}{\sqrt{73}}\approx0,5852.

Passo 7

Calcular o ângulo de fase \theta_L=\arg(\Gamma). Para x+jy com x>0 usamos
\theta=\operatorname{atan2}(y,x)=\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right),
lembrando do sinal para colocar no quadrante correto. Aqui x=\dfrac{41}{73}>0 e y=-\dfrac{12}{73}<0, portanto o ângulo será negativo (quadrante IV).
\theta_L=\arctan\!\left(\frac{-12/73}{41/73}\right)=\arctan\!\left(-\frac{12}{41}\right).
Calcule o valor numérico:
\theta_L\approx -16,32^\circ\quad(\text{aprox.}).
Também podemos expressar em radianos: \theta_L\approx-0,2847\\ \text{rad}.

Passo 8

Calcular a razão de onda estacionária S (SWR). Fórmula relacionando S e |\Gamma| é
S=\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}.
Substituindo o valor exato |\Gamma|=\dfrac{5}{\sqrt{73}} obtemos a forma exata
S=\frac{1+\dfrac{5}{\sqrt{73}}}{1-\dfrac{5}{\sqrt{73}}} =\frac{\sqrt{73}+5}{\sqrt{73}-5}.
Valor numérico aproximado:
S\approx\frac{1+0,5852055}{1-0,5852055}\approx3,8229.

Resposta

a) |\Gamma|=\dfrac{5}{\sqrt{73}}\approx0,5852
b) \theta_{L}=\arg(\Gamma)\approx-16,32^\circ
c) S=\dfrac{\sqrt{73}+5}{\sqrt{73}-5}\approx3,8229

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