2 - Uma LT com \mathrm{Z}_{0}=50 \Omega e \gamma=\mathrm{j} 0,125 \mathrm{~m}^{-1} tem 10 m de comprimento e alimenta uma carga de 100 \Omega. A corrente na entrada da linha tem amplitude (valor de pico) de 1.54 A . Calcular:
b) a amplitude (valor de pico) da tensão na carga. V_{p}=80 \mathrm{~V}

Passo 1

O enunciado dá uma linha de transmissão (LT) com as seguintes informações:
  • Impedância característica: Z_{0}=50\\ \Omega.
  • Constante de propagação: \gamma=\mathrm{j}\,0,125\\ \mathrm{m}^{-1}.
  • Comprimento da linha: l=10\\ \mathrm{m}.
  • Carga ligada na extremidade da linha: Z_{L}=100\\ \Omega.
  • Amplitude (valor de pico) da corrente na entrada da linha: I_{1,\text{p}}=1,54\\ \mathrm{A}.
A pergunta (item b) é:
  • Calcular a amplitude (valor de pico) da tensão na carga, isto é, V_{L,\text{p}}.
Dados listados acima são tudo o que usaremos; a resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Escolhemos usar a descrição por parâmetros ABCD da linha de transmissão (método direto e muito prático para ligar tensões e correntes de entrada e carga). Primeiro explico a ideia e as fórmulas que vamos usar.
Para uma linha lossless (sem perda) de comprimento l e constante de fase \beta vale:
A=D=\cos(\beta l), \qquad B=\mathrm{j}\,Z_{0}\sin(\beta l), \qquad C=\mathrm{j}\,\frac{1}{Z_{0}}\sin(\beta l).
Esses parâmetros aparecem nas duas equações que relacionam as grandezas na entrada (índice 1) com as na carga (índice 2):
V_{1}=A\,V_{2}+B\,I_{2}, \qquad I_{1}=C\,V_{2}+D\,I_{2}.
Aqui:
  • V_{1} e I_{1} são a tensão e corrente na entrada (conhecemos I_{1,\text{p}});
  • V_{2}=V_{L} e I_{2}=I_{L} são a tensão e corrente na carga (queremos V_{L,\text{p}});
  • I_{2} e V_{2} satisfazem I_{2}=V_{2}/Z_{L}.
A partir de I_{1}=C\,V_{2}+D\,I_{2} e I_{2}=V_{2}/Z_{L} isolamos V_{2}:
I_{1}=\Bigl(C+\frac{D}{Z_{L}}\Bigr) V_{2} \qquad\Rightarrow\qquad V_{2}=\frac{I_{1}}{C+\dfrac{D}{Z_{L}}}.
Como estamos interessados na amplitude (valor de pico), usaremos a magnitude do lado direito:
V_{L,\text{p}}=\frac{I_{1,\text{p}}}{\bigl|C+\dfrac{D}{Z_{L}}\bigr|}.
Nos passos seguintes calculamos numericamente cada termo.

Passo 3

Calcular \beta e os argumentos trigonométricos:
  • Como \gamma=\mathrm{j}\,0,125\\ \mathrm{m}^{-1}, temos \beta=0,125\\ \mathrm{m}^{-1}.
  • Produto \beta l:
\beta l = 0,125 \times 10 = 1,25\\ \text{rad}.
Agora as funções trigonométricas (valores aproximados, suficientes para a prova):
\cos(1,25)\approx 0,315322,\qquad \sin(1,25)\approx 0,948985.

Passo 4

Calcular os parâmetros ABCD numericamente usando Z_{0}=50\\ \Omega:
A=D=\cos(1,25)\approx 0,315322.
B=\mathrm{j}\,Z_{0}\sin(1,25)=\mathrm{j}\,(50\times 0,948985)\approx \mathrm{j}\,47,4493.
C=\mathrm{j}\,\frac{1}{Z_{0}}\sin(1,25)=\mathrm{j}\,\Bigl(\frac{1}{50}\times 0,948985\Bigr)\approx \mathrm{j}\,0,0189797.

Passo 5

Formar o denominador complexo C+\dfrac{D}{Z_{L}} que aparece em V_{2}=\dfrac{I_{1}}{C+D/Z_{L}}.
Primeiro calcule D/Z_{L}:
\frac{D}{Z_{L}}=\frac{0,315322}{100}\approx 0,00315322.
Portanto
C+\frac{D}{Z_{L}} \approx 0,00315322 + \mathrm{j}\,0,0189797.

Passo 6

Calcular a magnitude do denominador:
\biggl|C+\frac{D}{Z_{L}}\biggr| = \sqrt{(0,00315322)^{2} + (0,0189797)^{2}} \approx \sqrt{0,000009942 + 0,000360229} \approx \sqrt{0,000370171} \approx 0,019246.
Agora usar I_{1,\text{p}}=1,54\\ \mathrm{A} para obter V_{L,\text{p}}:
V_{L,\text{p}}=\frac{I_{1,\text{p}}}{\bigl|C+\dfrac{D}{Z_{L}}\bigr|} \approx \frac{1,54}{0,019246}\approx 80,0\\ \mathrm{V}.

Passo 7

Interpretação curta e motivadora: o cálculo mostra que, apesar da reflexão na carga (pois Z_{L}\neq Z_{0}), a relação entre corrente de entrada e tensão na carga é dada diretamente pela combinação dos parâmetros ABCD; ao dividir a amplitude da corrente de entrada pela magnitude do termo complexo obtido, chega-se ao pico da tensão na carga. Resultado simples e elegante para a prova — você consegue repetir esse procedimento rápido se decorar as fórmulas ABCD e a identidade I_{1}=(C+D/Z_{L})V_{2}. Vai dar certo!

Resposta

80\\ \mathrm{V}

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