1 - Uma LT operando em f=500 \mathrm{MHz} tem os seguintes parâmetros: \gamma=j 10 \pi \mathrm{~m}^{-1} e Z_{0}=50 \Omega.
b) Obter a faixa de valores para a impedância de carga ( \mathrm{Z}_{\mathrm{Lmin}} \leq \mathrm{Z}_{\mathrm{L}} \leq \mathrm{Z}_{\mathrm{L} \text { mix }} ) de modo que o coeficiente de onda estacionária na linha não seja maior do que 2,0. Obs.: Z_{L} é real (puramente resistiva);
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que temos e o que é pedido):
Frequência: f=500\\ \mathrm{MHz} (informação não utilizada diretamente na parte (b), mas registrada).
Constante de propagação: \gamma = j\,10\pi\\ \mathrm{m^{-1}}.
Impedância característica da linha: Z_{0}=50\\ \Omega.
A impedância de carga Z_{L} é puramente resistiva (real).
O que se pede:
Determinar o intervalo de valores de Z_{L} (isto é, \;Z_{L\min}\le Z_{L}\le Z_{L\max}\;) tal que o coeficiente de onda estacionária (VSWR) na linha não seja maior do que 2{,}0.
Passo 2
Entender como o VSWR se relaciona com o coeficiente de reflexão. Definições e ideias chave (explicadas devagar):
Para uma linha sem perdas (ou seja, \gamma puramente imaginário), a magnitude do coeficiente de reflexão não muda ao longo da linha. Como \gamma=j\beta neste caso, não há atenuação, então o módulo de \Gamma é o mesmo em qualquer posição e, em particular, o VSWR ao longo da linha é determinado pelo módulo |\Gamma_L| na carga.
O coeficiente de reflexão visto na carga é dado por
\Gamma_{L}=\frac{Z_{L}-Z_{0}}{Z_{L}+Z_{0}}.
Aqui:
Z_{L} é a impedância da carga (aqui real).
Z_{0} é a impedância característica da linha.
A relação entre VSWR (chamado aqui de S ou \mathrm{VSWR}) e |\Gamma| é
S=\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}.
Queremos S\le 2{,}0. Vamos usar essa fórmula para obter uma condição sobre |\Gamma|.
Passo 3
Isolar |\Gamma| a partir de S. Tomando S\le 2:
\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}\le 2.
Resolver essa desigualdade passo a passo:
1+|\Gamma| \le 2(1-|\Gamma|).
1+|\Gamma| \le 2 - 2|\Gamma|.
|\Gamma| + 2|\Gamma| \le 2 - 1.
3|\Gamma| \le 1.
|\Gamma| \le \frac{1}{3}.
Portanto a condição necessária e suficiente para \mathrm{VSWR}\le 2 é
|\Gamma_{L}|\le \frac{1}{3}.
Passo 4
Expressar |\Gamma_{L}| em função de Z_{L} e Z_{0} e montar a desigualdade. Como Z_{L} é real e assumimos Z_{L}\ge 0 (resistências não negativas), o denominador Z_{L}+Z_{0} é positivo, então