1 - Uma LT operando em f=500 \mathrm{MHz} tem os seguintes parâmetros: \gamma=j 10 \pi \mathrm{~m}^{-1} e Z_{0}=50 \Omega.
b) Obter a faixa de valores para a impedância de carga ( \mathrm{Z}_{\mathrm{Lmin}} \leq \mathrm{Z}_{\mathrm{L}} \leq \mathrm{Z}_{\mathrm{L} \text { mix }} ) de modo que o coeficiente de onda estacionária na linha não seja maior do que 2,0. Obs.: Z_{L} é real (puramente resistiva);

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que temos e o que é pedido):
  • Frequência: f=500\\ \mathrm{MHz} (informação não utilizada diretamente na parte (b), mas registrada).
  • Constante de propagação: \gamma = j\,10\pi\\ \mathrm{m^{-1}}.
  • Impedância característica da linha: Z_{0}=50\\ \Omega.
  • A impedância de carga Z_{L} é puramente resistiva (real).
    O que se pede:
  • Determinar o intervalo de valores de Z_{L} (isto é, \;Z_{L\min}\le Z_{L}\le Z_{L\max}\;) tal que o coeficiente de onda estacionária (VSWR) na linha não seja maior do que 2{,}0.

Passo 2

Entender como o VSWR se relaciona com o coeficiente de reflexão. Definições e ideias chave (explicadas devagar):
  • Para uma linha sem perdas (ou seja, \gamma puramente imaginário), a magnitude do coeficiente de reflexão não muda ao longo da linha. Como \gamma=j\beta neste caso, não há atenuação, então o módulo de \Gamma é o mesmo em qualquer posição e, em particular, o VSWR ao longo da linha é determinado pelo módulo |\Gamma_L| na carga.
  • O coeficiente de reflexão visto na carga é dado por
\Gamma_{L}=\frac{Z_{L}-Z_{0}}{Z_{L}+Z_{0}}.
Aqui:
  • Z_{L} é a impedância da carga (aqui real).
  • Z_{0} é a impedância característica da linha.
  • A relação entre VSWR (chamado aqui de S ou \mathrm{VSWR}) e |\Gamma| é
S=\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}.
Queremos S\le 2{,}0. Vamos usar essa fórmula para obter uma condição sobre |\Gamma|.

Passo 3

Isolar |\Gamma| a partir de S. Tomando S\le 2:
\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}\le 2.
Resolver essa desigualdade passo a passo:
1+|\Gamma| \le 2(1-|\Gamma|).
1+|\Gamma| \le 2 - 2|\Gamma|.
|\Gamma| + 2|\Gamma| \le 2 - 1.
3|\Gamma| \le 1.
|\Gamma| \le \frac{1}{3}.
Portanto a condição necessária e suficiente para \mathrm{VSWR}\le 2 é
|\Gamma_{L}|\le \frac{1}{3}.

Passo 4

Expressar |\Gamma_{L}| em função de Z_{L} e Z_{0} e montar a desigualdade. Como Z_{L} é real e assumimos Z_{L}\ge 0 (resistências não negativas), o denominador Z_{L}+Z_{0} é positivo, então
|\Gamma_{L}|=\left|\frac{Z_{L}-Z_{0}}{Z_{L}+Z_{0}}\right|=\frac{|Z_{L}-Z_{0}|}{Z_{L}+Z_{0}}.
A condição |\Gamma_{L}|\le \dfrac{1}{3} vira
\frac{|Z_{L}-Z_{0}|}{Z_{L}+Z_{0}}\le \frac{1}{3}.
Defina x=Z_{L} para simplificar a álgebra e lembre que Z_{0}=50\\ \Omega. Vamos resolver genericamente em termos de Z_{0} primeiro.

Passo 5

Resolver a desigualdade em duas regiões (porque existe o valor absoluto):
  • Caso A: x\ge Z_{0}. Então |x-Z_{0}|=x-Z_{0} e
\frac{x-Z_{0}}{x+Z_{0}}\le\frac{1}{3}.
Multiplicando ambos os lados por 3(x+Z_{0}) (positivo) obtemos
3(x-Z_{0})\le x+Z_{0}.
3x-3Z_{0}\le x+Z_{0}.
2x\le 4Z_{0}.
x\le 2Z_{0}.
Com a condição x\ge Z_{0} do caso, concluímos neste ramo:
Z_{0}\le x\le 2Z_{0}.
  • Caso B: 0\le x< Z_{0}. Então |x-Z_{0}|=Z_{0}-x e
\frac{Z_{0}-x}{x+Z_{0}}\le\frac{1}{3}.
Multiplicando por 3(x+Z_{0}) (positivo):
3(Z_{0}-x)\le x+Z_{0}.
3Z_{0}-3x\le x+Z_{0}.
-4x\le -2Z_{0}.
x\ge \frac{Z_{0}}{2}.
Com a condição x<Z_{0} do caso, concluímos:
\frac{Z_{0}}{2}\le x< Z_{0}.
  • Unindo os dois ramos obtemos o intervalo completo:
\frac{Z_{0}}{2}\le x\le 2Z_{0}.
Voltando a Z_{L}:
\frac{Z_{0}}{2}\le Z_{L}\le 2Z_{0}.

Passo 6

Substituir Z_{0}=50\\ \Omega e apresentar o resultado numérico; conferir rapidamente pelos extremos:
\frac{50}{2}=25\\ \Omega,\qquad 2\cdot 50=100\\ \Omega.
Verificação rápida nos limites:
  • Para Z_{L}=25\\ \Omega: \Gamma_{L}=(25-50)/(25+50)=-25/75=-1/3, |\Gamma_{L}|=1/3 e S=(1+1/3)/(1-1/3)=2.
  • Para Z_{L}=100\\ \Omega: \Gamma_{L}=(100-50)/(100+50)=50/150=1/3, |\Gamma_{L}|=1/3 e S=2.
    Portanto o intervalo está consistente.

Resposta

\;25\\ \Omega \le Z_{L} \le 100\\ \Omega

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