2 - Uma LT com \mathrm{Z}_{0}=50 \Omega e \gamma=\mathrm{j} 0,125 \mathrm{~m}^{-1} tem 10 m de comprimento e alimenta uma carga de 100 \Omega. A corrente na entrada da linha tem amplitude (valor de pico) de 1.54 A . Calcular:
a) a potência (ativa) na entrada da linha; P=32 \mathrm{~W}

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados (vou listar exatamente o que foi dado):
  • Impedância característica: Z_{0}=50\\ \Omega.
  • Constante de propagação: \gamma=\mathrm{j}\,0{,}125\\ \mathrm{m}^{-1}.
  • Comprimento da linha: l=10\\ \mathrm{m}.
  • Carga na extremidade: Z_{L}=100\\ \Omega.
  • Corrente de entrada (amplitude, valor de pico): I_{m}=1{,}54\\ \mathrm{A}.
O que o problema pede:
  • (a) Calcular a potência ativa na entrada da linha.
Observação importante (tirada dos dados): como \gamma é puramente imaginária ( \gamma=\mathrm{j}\beta), a linha é lossless (sem atenuação) e \beta=0{,}125\\ \mathrm{m}^{-1}. A partir daqui vamos calcular a impedância de entrada da linha e, com ela, a potência ativa fornecida pela fonte.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aulas rápidas e claras):
  • Para uma linha de transmissão lossless a impedância de entrada Z_{\text{in}} quando a linha tem comprimento l é dada por:
Z_{\text{in}} = Z_{0}\,\frac{Z_{L} + \mathrm{j}Z_{0}\tan(\beta l)}{Z_{0} + \mathrm{j}Z_{L}\tan(\beta l)}.
Explicando cada símbolo:
  • Z_{\text{in}} é a impedância vista pela fonte na entrada da linha (complexa, tem parte real e imag).
  • Z_{0} é a impedância característica da linha (aqui 50\\ \Omega).
  • Z_{L} é a carga na extremidade (aqui 100\\ \Omega).
  • \beta é a constante de fase (aqui \beta=0{,}125\\ \mathrm{m}^{-1}).
  • l é o comprimento da linha (aqui 10\\ \mathrm{m}).
  • \tan(\beta l) é a tangente do produto \beta l.
  • Potência média (ativa) fornecida pela fonte para um sinal senoidal, usando amplitudes de pico, é:
P_{\text{ativa}}=\frac{1}{2}\,\Re\{Z_{\text{in}}\}\,I_{m}^{2},
porque com V_{m}=Z_{\text{in}}I_{m} (fásors de pico) tem-se P_{\text{ativa}}=\tfrac{1}{2}\Re\{V_{m}I_{m}^{*}\}=\tfrac{1}{2}\Re\{Z_{\text{in}}\}I_{m}^{2}.
Breve nota didática: se estivéssemos usando valores RMS a fórmula seria P=\Re\{Z_{\text{in}}\}I_{\text{rms}}^{2}, e I_{\text{rms}}=I_{m}/\sqrt{2}, mas aqui já usaremos a forma com picos acima.

Passo 3

Calcular \beta l e \tan(\beta l):
  • Primeiro \beta=\;0{,}125\\ \mathrm{m}^{-1} e l=10\\ \mathrm{m}, então
\beta l = 0{,}125\times 10 = 1{,}25\\ \text{rad}.
  • Agora calcular \tan(1{,}25). Usando valores trigonométricos numéricos:
\tan(1{,}25)\approx 3{,}00957.

Passo 4

Calcular a expressão da impedância de entrada passo a passo:
  • Primeiro calculemos os termos com a tangente:
    • \mathrm{j}Z_{0}\tan(\beta l)=\mathrm{j}\times 50 \times 3{,}00957 \approx \mathrm{j}\,150{,}4785\\ \Omega.
    • \mathrm{j}Z_{L}\tan(\beta l)=\mathrm{j}\times 100 \times 3{,}00957 \approx \mathrm{j}\,300{,}957\\ \Omega.
  • Agora o numerador e denominador da fração:
    • Numerador: Z_{L} + \mathrm{j}Z_{0}\tan(\beta l)=100 + \mathrm{j}\,150{,}4785.
    • Denominador: Z_{0} + \mathrm{j}Z_{L}\tan(\beta l)=50 + \mathrm{j}\,300{,}957.
  • Divisão complexa:
\frac{100+\mathrm{j}\,150{,}4785}{50+\mathrm{j}\,300{,}957} = \frac{(100+\mathrm{j}150{,}4785)(50-\mathrm{j}300{,}957)}{50^{2}+300{,}957^{2}}.
Fazendo as contas (mostrando as operações):
  • Produto no numerador (parte real): 100\cdot50 + 150{,}4785\cdot300{,}957 \approx 5{,}000 + 45{,}287{,}5579 \approx 50{,}287{,}5579.
  • Produto no numerador (parte imaginária): 100\cdot(-300{,}957)+150{,}4785\cdot50 \approx -30{,}095{,}7 + 7{,}523{,}925 \approx -22{,}571{,}775, ou seja -\mathrm{j}\,22{,}571{,}775.
  • Denominador (módulo ao quadrado): 50^{2}+300{,}957^{2}\approx 2{,}500 + 90{,}575{,}1158 \approx 93{,}075{,}1158.
  • Assim a razão complexa vale aproximadamente:
\frac{100+\mathrm{j}\,150{,}4785}{50+\mathrm{j}\,300{,}957} \approx 0{,}5403 - \mathrm{j}\,0{,}2426.
  • Multiplicando por Z_{0}=50\\ \Omega,
Z_{\text{in}} = 50\,(0{,}5403 - \mathrm{j}\,0{,}2426) \approx 27{,}013 - \mathrm{j}\,12{,}128\\ \Omega.

Passo 5

Extrair a parte real de Z_{\text{in}} e preparar para calcular a potência:
  • A parte real (resistiva) da impedância de entrada é
\Re\{Z_{\text{in}}\}\approx 27{,}013\\ \Omega.

Passo 6

Calcular a potência ativa usando a corrente de pico I_{m}=1{,}54\\ \mathrm{A} e a fórmula:
P_{\text{ativa}}=\frac{1}{2}\,\Re\{Z_{\text{in}}\}\,I_{m}^{2}.
Substituindo os números:
P_{\text{ativa}}=\frac{1}{2}\times 27{,}013\times (1{,}54)^{2}.
Calculemos os termos:
  • (1{,}54)^{2}=2{,}3716.
  • 27{,}013\times 2{,}3716 \approx 64{,}064.
  • Dividindo por 2: P_{\text{ativa}}\approx 32{,}032\\ \mathrm{W}.
Arredondando de forma prática para o número com que o enunciado compara, obtemos P_{\text{ativa}\,}\approx 32\\ \mathrm{W}.

Resposta

32\\ \mathrm{W}

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