2 - Uma LT com
e
tem 10 m de comprimento e alimenta uma carga de
. A corrente na entrada da linha tem amplitude (valor de pico) de 1.54 A . Calcular:
a) a potência (ativa) na entrada da linha;
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados (vou listar exatamente o que foi dado):
- Impedância característica:
. - Constante de propagação:
. - Comprimento da linha:
. - Carga na extremidade:
. - Corrente de entrada (amplitude, valor de pico):
.
O que o problema pede:
- (a) Calcular a potência ativa na entrada da linha.
Observação importante (tirada dos dados): como
é puramente imaginária (
), a linha é lossless (sem atenuação) e
. A partir daqui vamos calcular a impedância de entrada da linha e, com ela, a potência ativa fornecida pela fonte.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aulas rápidas e claras):
- Para uma linha de transmissão lossless a impedância de entrada
quando a linha tem comprimento é dada por:
Explicando cada símbolo:
-
é a impedância vista pela fonte na entrada da linha (complexa, tem parte real e imag). -
é a impedância característica da linha (aqui ). -
é a carga na extremidade (aqui ). -
é a constante de fase (aqui ). -
é o comprimento da linha (aqui ). -
é a tangente do produto . - Potência média (ativa) fornecida pela fonte para um sinal senoidal, usando amplitudes de pico, é:
porque com
(fásors de pico) tem-se
.
Breve nota didática: se estivéssemos usando valores RMS a fórmula seria , e
, mas aqui já usaremos a forma com picos acima.
Breve nota didática: se estivéssemos usando valores RMS a fórmula seria
Passo 3
Calcular
e
:
- Primeiro
e , então
- Agora calcular
. Usando valores trigonométricos numéricos:
Passo 4
Calcular a expressão da impedância de entrada passo a passo:
- Primeiro calculemos os termos com a tangente:
-
. -
.
-
- Agora o numerador e denominador da fração:
- Numerador:
. - Denominador:
.
- Numerador:
- Divisão complexa:
Fazendo as contas (mostrando as operações):
- Produto no numerador (parte real):
. - Produto no numerador (parte imaginária):
, ou seja . - Denominador (módulo ao quadrado):
. - Assim a razão complexa vale aproximadamente:
- Multiplicando por
,
Passo 5
Extrair a parte real de
e preparar para calcular a potência:
- A parte real (resistiva) da impedância de entrada é
Passo 6
Calcular a potência ativa usando a corrente de pico
e a fórmula:
Substituindo os números:
Calculemos os termos:
-
. -
. - Dividindo por
: .
Arredondando de forma prática para o número com que o enunciado compara, obtemos
.