1. A tensão \bar{V}_{B N} em um circuito trifásico equilibrado com sequência negativa é 250 \angle-45^{\circ} \mathrm{V}.
a) Calcule \bar{V}_{A N} e \bar{V}_{B N} ?
b) Calcule \bar{V}_{B C}, \bar{V}_{C A} \mathrm{e} \bar{V}_{A C}. (Valor 1,5)
CN

Passo 1

O enunciado nos dá uma fonte trifásica equilibrada, de sequência negativa, e informa a tensão de fase entre o ponto B e o neutro:
\bar{V}_{BN}=250\angle -45^\circ\\ \mathrm{V}.
O que o exercício pede:
(a) calcular \bar{V}_{AN} e (presumindo um erro de digitação no enunciado) também \bar{V}_{CN} (a tensão de fase nas outras duas fases);
(b) calcular as tensões de linha \bar{V}_{BC},\\ \bar{V}_{CA} e \bar{V}_{AC}.
Informações relevantes dadas:
  • Sistema trifásico equilibrado (módulos iguais e defasagens simétricas).
  • Sequência negativa (sentido de rotação das fases invertido em relação à sequência positiva).
  • \bar{V}_{BN}=250\angle -45^\circ\\ \mathrm{V}.

Passo 2

Conceito-chave (explicação didática do que significa “sequência negativa” e como relacionar as fases).
  • Definir o operador complexo a como
a = e^{j120^\circ}.
Esse operador tem as propriedades úteis
a^2 = e^{j240^\circ} = e^{-j120^\circ},\qquad a^3=1,\qquad 1+a+a^2=0.
  • Em um sistema trifásico equilibrado de sequência positiva as relações entre as fases (em termos de um único módulo V e um ângulo de referência) são tipicamente
\bar{V}_A = V_1,\qquad \bar{V}_B = a^2 V_1,\qquad \bar{V}_C = a V_1.
  • Em sequência negativa a ordem é invertida; para um único conjunto negativo V_2 vale
\bar{V}_A = V_2,\qquad \bar{V}_B = a\,V_2,\qquad \bar{V}_C = a^2 V_2.
Isto significa que, conhecendo \bar{V}_B, pode-se recuperar V_2 (o membro comum) multiplicando por a^2 (porque a^2\cdot a =1):
V_2 = a^2 \bar{V}_B.
Portanto
\bar{V}_A = a^2 \bar{V}_B,\qquad \bar{V}_C = a\,\bar{V}_B.
Explicação em palavras: para sequência negativa a fase B está +120^\circ em relação à fase A (ou, dito de outro modo, A está -120^\circ em relação a B). Usando o operador a isso fica imediato.

Passo 3

Aplicando a fórmula acima aos dados numéricos.
Temos \bar{V}_{BN}=250\angle -45^\circ. Usando
a^2=\angle -120^\circ,\qquad a=\angle +120^\circ,
obtemos
\bar{V}_{AN}=a^2\bar{V}_{BN}=250\angle(-45^\circ-120^\circ)=250\angle -165^\circ\\ \mathrm{V},
e
\bar{V}_{CN}=a\,\bar{V}_{BN}=250\angle(-45^\circ+120^\circ)=250\angle 75^\circ\\ \mathrm{V}.
Comentários de didática: aqui só somamos ângulos porque multiplicar por a (ou a^2) equivale a acrescentar +120^\circ (ou -120^\circ) ao ângulo da fasor conhecido. Esse é o jeito rápido de obter as outras tensões de fase num sistema equilibrado sem precisar converter para retangular.

Passo 4

Como calcular as tensões de linha \bar{V}_{XY}=\bar{V}_X-\bar{V}_Y de forma prática e rápida em um sistema equilibrado.
Dica prática muito usada na prova (evita cálculo de cossenos/senos): em um sistema trifásico equilibrado as tensões de linha têm módulo \sqrt{3} vezes o módulo da tensão de fase, e o ângulo de \bar{V}_{XY} pode ser obtido a partir do ângulo da fase X com um deslocamento de -30^\circ ou +30^\circ dependendo da ordem. Em situação correta (quando \angle\bar{V}_Y=\angle\bar{V}_X+120^\circ) vale a identidade
\bar{V}_{XY}=\sqrt{3}\,V\angle(\angle\bar{V}_X-30^\circ),
onde V é o módulo das tensões de fase. Essa identidade é derivada da diferença de dois fasores defasados de 120^\circ. Ela é muito útil em prova porque evita transformações trigonométricas longas.
No nosso caso verificamos que:
  • para \bar{V}_{BC} temos \angle\bar{V}_C=\angle\bar{V}_B+120^\circ, logo
\bar{V}_{BC}=\sqrt{3}\cdot 250\angle(\angle\bar{V}_B-30^\circ).
  • para \bar{V}_{CA} temos \angle\bar{V}_A=\angle\bar{V}_C+120^\circ (ou equivalentemente \angle\bar{V}_C=\angle\bar{V}_A-120^\circ), e ao aplicar a fórmula apropriada obtemos
\bar{V}_{CA}=\sqrt{3}\cdot 250\angle(\angle\bar{V}_C-30^\circ).

Passo 5

Cálculo numérico das tensões de linha usando a fórmula direta (modo rápido para prova).
Calcule o módulo comum:
\sqrt{3}\cdot 250 = 250\sqrt{3}\approx 433,01\\ \mathrm{V}.
Agora as fases (usando os ângulos obtidos no Passo 3):
  • Para \bar{V}_{BC}:
\bar{V}_{BC}=\sqrt{3}\cdot 250\angle(-45^\circ -30^\circ)=433,01\angle -75^\circ\\ \mathrm{V}.
  • Para \bar{V}_{CA}:
\bar{V}_{CA}=\sqrt{3}\cdot 250\angle(75^\circ -30^\circ)=433,01\angle 45^\circ\\ \mathrm{V}.
  • Para \bar{V}_{AC} basta notar que \bar{V}_{AC}=\bar{V}_A-\bar{V}_C=-(\bar{V}_{CA}), ou seja adiciona-se 180^\circ ao ângulo de \bar{V}_{CA}:
\bar{V}_{AC} = 433,01\angle(45^\circ-180^\circ)=433,01\angle -135^\circ\\ \mathrm{V}.
Observação de verificação (opcional, útil como checagem em prova): pode-se também calcular \bar{V}_{BC}=\bar{V}_B-\bar{V}_C convertendo \bar{V}_B e \bar{V}_C para forma retangular e subtraindo — o resultado dá o mesmo módulo 433,01\\ \mathrm{V} e ângulo -75^\circ.

Resposta

(a) \bar{V}_{AN}=250\angle -165^\circ\\ \mathrm{V},\quad \bar{V}_{BN}=250\angle -45^\circ\\ \mathrm{V},\quad \bar{V}_{CN}=250\angle 75^\circ\\ \mathrm{V}
(b) \bar{V}_{BC}=433,01\angle -75^\circ\\ \mathrm{V},\quad \bar{V}_{CA}=433,01\angle 45^\circ\\ \mathrm{V},\quad \bar{V}_{AC}=433,01\angle -135^\circ\\ \mathrm{V}

Exercícios relacionados